与图形旋转有关的问题Word文档格式.docx
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作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.
由已知得BF=OE=2,OF=
=
∴点B的坐标是（
，2）设直线AB的解析式是y=kx+b，
则有
解得
∴直线AB的解析式是y=
x+4
（2）如图2-④，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=
.……（2分）
如图，点B作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.
在Rt△BDG中，∠BGD=90°
∠DBG=60°
.
∴BG=BD·
cos60°
=
×
. DG=BD·
sin60°
∴OH=KG=
DH=
∴点D的坐标为（
）
（3）假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:
①t＞0时，如图2-⑤，BD=OP=t,DG=
t,
∴DH=2+
t.∵△OPD的面积等于
，∴
（舍去）.∴点P1的坐标为（
0）
②当
＜t≤0时，如图2-⑥，BD=OP=－t,BG=－
t,
∴DH=GF=2－（－
t）=2+
∴
，解得
.
∴点P2的坐标为（
0），点P3的坐标为（
0）.
③当t≤
时，如图，BD=OP=－t,DG=－
∴DH=－
t－2.
∵△OPD的面积等于
（舍去）,
∴点P4的坐标为（
0）
综上所述,点P的坐标分别为P1（
0）、P2（
0）、P3（,0）、P4（
B．角作旋转
例3（06南通） 如图3-①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°
（1）求直线CB的解析式；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α （30°
＜α＜60°
）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC交直线CB于点F ，设DE＝m，BF＝n.求m与n的函数关系式．
图3-①
（1）要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可；
求点C坐标只需过点C作CG⊥x轴于点G。
（2）求点M的坐标只需求出线段OM的长度，由△ODM∽△BMC 即可求得。
（3）由于∠DMC绕点M顺时针旋转，点M有两种情况，因而需分情况讨论。
（1）BC解析式：
y=
（2）略证△ODM∽△BMC
设OM=x，2×
2＝x（5－x），x＝1或4M（1，0）或（4，0）
（3）当M（1，0）时，△DME∽△CMF，
CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m，即m＝1＋
当M（4，0） 时
∴m＝2（2－n），即m＝4－2n
图3-② 图3--③
二、与反比例函数相联系的图形旋转问题
A．矩形旋转
例4（06吉林．如图4-①，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在
轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求过点
的反比例函数解析式；
（3）设
（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：
求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．
（1）由∠OGA=∠OMN=90度，∠AOG=∠AOG易知
；
的反比例函数解析式只需求出点A坐标，因为矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP，所以OM=OE=4，OG=EF=MN=2，又
，所以求AG的长即可；
（3）由点B横坐标为4，根据
（2）中结论易求点B坐标，即可求出直线AB的解析式；
（4）看矩形OEFG的对称中心（4，1）是否满足
（2）中所求解析式即可。
（2）由
（1）得
（3）
（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为（2,1）．把
代入
，得
反比例函数的图象经过矩形
的对称中心．
B．三角形旋转
例5（06天门））如图5-①，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。
将△OAB绕点O顺时针旋转30°
后，恰好点A落在双曲线
上。
（1）求双曲线
的解析式；
（2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？
图5-①
（1）根据题意，只需求出△OAB绕点O顺时针旋转30°
后点A1坐标即可（过A1作A1C⊥X轴于C，由直角△OA1C中∠A1OC=30度，OA1=OA=2求出OC、CA1）；
（2）可设A点次落在双曲线的A2处坐标为（a,
），然后过A2作A2D⊥y轴于D，在直角△OA1D中利用勾股定理求出a的值，再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。
（1）设旋转30°
后，A点到A1，过A1作A1⊥X于C，在直角△OA1C中，得OC=
，AA1=1，
所以A1（
，-1），所以反比例函数的解析式为y=
（2）设A点次落在双曲线的A2处，设A2（a,
），过A2作A2⊥y于D，
在直角△OA1D中,则a2+
解得a1=1
a2=
（舍）,所以
∠A2OD=
∠A2OD=30°
所以∠A1OA2=30°
继续按顺时针旋转30°
后，A点再次落在双曲线上。
例6．（08义乌）已知：
等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6-①，点A的坐标为（
），点B的坐标为（－6，0）.
（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O
，请直接写出A、B的对称点
的坐标；
（2）若将三角形
沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数
的图像上，求a的值；
（3）若三角形
绕点O按逆时针方向旋转
度（
）.
①当
时点B恰好落在反比例函数
的图像上，求k的值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出
的值；
若不能，请说明理由.
（1）关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点
（2）三角形
沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变，由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标，即可求出a的值；
（3）当
时，易求点B坐标即可求k的值。
（2）∵
∴
（3）①∵
∴相应B点的坐标是
②能当
时，相应
点的坐标分别是
经检验：
它们都在
的图像上∴
C．直线旋转
例7（06北京）在平面直角坐标系
中，直线
绕点
顺时针旋转
得到直线
与反比例函数
的图象的一个交点为
，试确定反比例函数的解析式．
由直线
，易知直线
的解析式为
由图象的意义易求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式。
依题意得，直线
． 因为
在直线
上，
则
．即
．又因为
的图象上，
又因为
的图象上可求得
．所以反比例函数的解析式为y=
例8．（07福州）如图8-①，
已知直线L：
与双曲线
交于
两点，且点
的横坐标为4．
（1）求
（2）若双曲线
上一点
的纵坐标为8，求
的面积；
（3）直线
绕点O旋转与交双曲线
于
两点（
点在第一象限），若由点
为顶点组成的四边形面积为
，求点
的坐标．
分析:
（1）由图象意义根据直线L、点
的横坐标为
易求点A坐标，继而求出
（2）由点
的纵坐标为8，可求点
坐标，求
的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差：
可过点C、A分别作
轴的垂线，垂足为E、F，所以
的面积=△OEC的面积+梯形AFEC-△AOF的面积；
（3）可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。
因为不与点A重合因而分0＜
＜4和
＞4讨论，由于
为顶点组成的四边形是平行四边形，因而由所给面积可求点P坐标。
（1）∵点A横坐标为4, ∴当
=4时，
=2. ∴点A的坐标为（4，2）.
∵点A是直线
（k>
0）的交点, ∴k=4×
2=8.
（2）解：
如图8-②，过点C、A分别作
轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线
上，当
=8时，
=1.
∴点C的坐标为（1,8）.图8-②
∵点C、A都在双曲线
上,
∴S△COE=S△AOF=4。
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=
（2+8）×
3=15, ∴S△COA=15.
（3）①当L绕点O逆时针旋转时∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ，OA=OB.
∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=
S平行四边形APBQ=
24=6.
设点P的横坐标为
（
>
0且
）,得P（
）.
过点P、A分别作
∵点P、A在双曲2线上，∴S△POE=S△AOF=4. 则0＜
＜4，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.图8--③
∴
.解得
=2，
=-8（舍去）.∴P（2，4）.
②当L绕点O顺时针旋转时，则
＞4，如图8-④，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴S梯形PEFA=S△POA=6. ∴
解得
=8，
=-2（舍去）. ∴P（8，1）.
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.
三、与二次函数相联系的图形旋转问题
例9（08沈阳）．如图9-①所示，在平面直角坐标系中，矩形
的边
轴的负半轴上，边
轴的正半轴上，且
，矩形
按顺时针方向旋转
后得到矩形
．点
的对应点为点
，点
，抛物线
过点
（1）判断点
是否在
轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在
轴的上方是否存在点
，使以点
为顶点的平行四边形的面积是矩形
面积的2倍，且点
在抛物线上，若存在，请求出点
若不存在，请说明理由．
（1）连接AO，由
，易求得
，因为矩形
按顺时针方
向旋转
，所以
，因而确定点
轴上；
（2）求抛物线的函数表达式，只需求点
三点坐标；
（3）点
必须满足在
轴的上方和在抛物线上两个条件；
此平行四边形顶点没有顺序，因而需分情况讨论：
以
为顶点的平行四边形面积为
．由题意可知
为此平行四边形一边，点
的位置可以调换；
由面积关系可求得OB边上的高为2，所以可求出点P坐标，从而求出点Q的坐标。
（1）点
轴上，理由如下：
连接
，如图9-②所示，
在
中，
，
由题意可知：
∵点
轴上，∴点
轴上．
（2）过点
轴于点
在第一象限，∴点
由
（1）知
轴的正半轴上 ∴点
∴点
∵抛物线
经过点
由题意，将
中得
∴所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点
．理由如下：
∵矩形
的面积
∴以
由题意可知
为此平行四边形一边，又
边上的高为2
依题意设点
在抛物线
上
解得，
∵以
为顶点的四边形是平行四边形，
∴当点
时，点
的坐标分别为
当点
时，
点
例10．（08吉林）．如图10-①，在平面直角坐标系中，矩形
的顶点
、
．将矩形
绕原点
顺时针方向旋转
，得到矩形
．设直线
与
轴交于点
、与
，抛
物线经过点
．解答下列问题：
（1）设直线
表示的函数解析式为
，求
（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；
（3）在抛物线上求出使
的所有点
（1）求直线
表示的函数解析式只需求出点B、B’坐标即可；
（2）求抛物线表示的二次函数的解析式只需求得点
和直线
交
轴、
轴的两点
坐标即可；
（3）由
易求出点
到
的距离为2．则
点的纵坐标为3或
．代入二次函数的解析式即可求出点
的坐标。
（1）∵四边形
是矩形，
．根据题意，得
．把
设二次函数解析式为
，把
代入得，
∴二次函数解析式为
又
，∴点
点的纵坐标y为3或-1．
当
，即
．解得
点坐标
．
例11（06吉林）．如图11-①，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0,4），C（6,0）（如图11-①）．
（1）当α=60°
时，△CBD的形状是_____________；
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；
（3）当α=90°
时，（如图11--②）．请探究：
经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．
图11-① 11-②
时，易求得∠BCD=60°
，由于矩形COAB绕点C顺时针旋转α角得到矩形CFED所以BC=CD，所以△CBD的形状是等边三角形；
（2）求直线FC的解析式只需知道点C、点H坐标即可，由AH=HC及直角三角形BHC、A（0,4），C（6,0）即可求得点H坐标；
（3）求出经过点D，且以点B为顶点的抛物线解析式，看点M坐标是否满足抛物线解析式。
（1）等边三角形．
（2）设
解得
． ．
（或
）．
依题可得，点
坐标为
得
．∴抛物线经过矩形
的对称中心
B．
三角形旋转
例12．（07绍兴）如图12-①，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，
）．将
绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置．抛物线
经过点A，点D是该抛物线的顶点．
（1）求点B坐标；
（2）若点P是线段OA上一点，且
，求点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标（直接写出答案即可）．
（1）因为抛物线
经过点A（2，0），所以a值可求；
由
条件知OABC为平行四边形，所以点C纵坐标即为点B纵坐标，即可求出点B坐标；
（2）要求点P的坐标，只需求出OP的长，而由D、A、B坐标易求∠OAD=∠AOB=60O，再由
可证△APD∽△OAB即可求出OP的长。
（3）由于A、D两点为定点所以线段AD既可以作为平行四边形的一边又可以作为对角线进行分类讨论。
=0
又由条件知OABC为平行四边形，
=3
∠OAD=
，
∠AOB=
∴∠OAD=∠AOB=60°
，∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB，
，AP=
（3）点P的坐标为（-1，0）或（1，0）或（3，0）
例13．（08武汉）如图13-①，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴交于点D，与x
轴交于另一点B.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图13-②，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°
后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.
图13-① 图13-②
（1）由图象的意义易求此抛物线的解析式；
（2）由
（1）可知四边形ABCD为等腰梯形，直线y=kx-1（k≠0）将其面积二等分，则此直线必过线段AB、CD中点M、N所连接的线段MN的中点P，而点P坐标可求，即可求出k的值；
（3）将△AEF绕平面内某点旋转180°
后得△MNQ知道以点A、E、M、N组成的四边形为平行四边形所以MN∥AE，MQ∥AF，根据△AEF≌△MNQ，易求点M，N的坐标。
答案：
⑴
⑵
⑶M（3，2），N（1，3）
图13-③ 图13-④ 图13-⑤
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