广西大学自动控制原理习题解答本科第4章.docx

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广西大学自动控制原理习题解答本科第4章

习题参考答案

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为

试求：

使系统增益裕度为10的K值；

使系统相角裕度为的K值。

解:

系统开环频率特性为

（1）求的K值：

令为相角交越频率，有，

由

可解得K=1。

（2）求的K值：

由定义

求得系统幅值交越频率

由

注意：

涉及相角的计算时，可以

（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。

（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。

计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。

4-2试由幅相频率计算式

确定最小相位系统的传递函数。

解:

由相频计算式可得出传递函数的形式为

由幅频计算式

有

求得，所求最小相位系统的传递函数为

4-3已知单位反馈系统开环传递函数

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。

解：

令，则“平面所有极点均处于负平面”等价于“平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

可见并无右半平面的开环极点，所以的Nyquist轨线不能包围点。

只要满足：

轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令的相频为，得到

求得的相角交越频率

即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为。

注意：

作变量替换时，尝试选一些点验证一下。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K>0。

（1）试求系统稳态误差；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值，试选择K值。

解：

（1）求系统稳态误差，系统开环传递函数为，

闭环系统的误差传递函数为

其幅值与相位为

因输入，系统的稳态误差为

（2）因，令

有

解得

（舍去）.

故满足题意要求的K值范围为

4-5已知系统

型次（含有个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：

当开环增益时，起始点位于正实轴；当开环增益时，起始点位于负实轴。

4-6设系统的开环传递函数为

其中。

（1）已知，试概略绘制该系统的Nyquist图。

（2）若，请概略绘制该系统的Nyquist图。

解：

（1），而且对于小正数，有

，概略绘制的Nyquist图如下

（2），而且对于小正数，有

，概略绘制的Nyquist图如下

注意：

一般情况下Nyquist图的起点总是在正实轴。

4-7设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。

试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。

开环系统稳定开环系统稳定开环系统有2个RHP极点

解：

（1）P=0，2，N=P+=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。

（2）P=0，1，故N=P+=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。

（3）P=2，-2，故N=P+=0，闭环系统稳定。

4-8已知系统开环传递函数

把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L（s）的Nyquist图，据此判定闭环系统的稳定性。

解：

s平面小圆弧顺时针的路径映射为L（s）平面逆时针的大圆弧。

Nyquist路径L（s）的Nyquist图

wn=-1（逆时针），P=1，N=0，闭环系统稳定。

4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。

（1）试求取系统的开环传递函数；

（2）要求系统具有的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。

解:

（1）由图可得出系统开环传递函数的基本形式为

将点（0.1，40）代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即

求得K=10，所求系统开环传递函数为

（2）由相角裕度的定义

导出

解出

由交越频率的定义有

解出K=0.335。

即开环放大倍数衰减30倍。

4-10已知系统的开环传递函数为

（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图；

（2）由Bode图判断闭环系统的稳定性；

（3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；

（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。

解：

（1）首先将化为尾1标准形式

=

知该系统为典型Ⅱ型系统，各环节转折频率为0.2、0.6、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过=1，|G（iω）|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示。

（2）P=0，故N=P+=0，闭环系统稳定。

（3）由=1，解得5.56，

（4）MATTAB程序校验

>>num=400/3*[25159];

den=conv（[10.200],[162600]）;

bode（num,den）;gridon

>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（num,den）

Gm=10.7036；Pm=56.7919；Wcg=23.9829；Wcp=5.0533

交越频率为5.05rad/s，相角裕度为，这与近似计算值非常接近。

4-11已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，

（1）试确定各系统的开环传递函数；

（2）求相角裕度；

（3）概略画出对应的相频特性曲线；

（4）分析闭环系统的稳定性。

解：

.针对（a）图：

（1）如图，转折频率为2、10、20。

该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为

即20lgK=20，解得K=10。

该系统的开环传递函数为

（2）即20=20lg

（2），解得=5，由此

（3）

（4）P=0，，故N=P+=0，闭环系统稳定。

.针对（b）图：

（1）设未知转折频率从左至右依次为、、、，则其开环传递函数形式为

，解得K=10；

，解得=1=1；

，解得=82.54，=0.0121

，解得=46.42，=0.0215

解得=2.61=0.383

该系统的开环传递函数为

（2）=100，由此

（3）

（4）P=0，故N=P+=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。

4-12针对正反馈系统，Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。

正反馈系统的Nyquist图，临界点为1

答：

若开环传递函数的RHP极点数为P,则闭环系统稳定的充分必要条件是L（s）的Nyquist图{L（iω），ω=−∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。

4-13设系统的开环传递函数为，求交越频率和相角交越频率，并用MATLAB程序进行校核，你得到什么结论。

解：

（1）起点：

（2）终点：

（3）=

=

与实轴的交点：

令虚部为即=0解得=0.2，=0.447，此时=-9。

与虚轴的交点：

令实部为即=0解得=9.57=3.09，此时=4.43。

使用理论计算值与nyquist（sys）的计算结果基本没差别，但ω相差较大。

原因是ω变化范围为-∞~+∞。

若指定频率范围，采用命令nyquist（sys,w），w={wmin,wmax}，可使之与理论计算值吻合。

>>num=[6-1830];

den=[12-3];

sys=tf（num,den）;

w={0.1,100};

nyquist（sys,w）

>>margin（sys）