版高考数学一轮复习习题平面向量的数量积及其应用 word版含答案Word文档格式.docx

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填空题

★★★

2.平面向量的

长度问题

掌握

2017课标全国Ⅰ,13;

2017浙江,15;

2016北京,4;

2014浙江,8

3.平面向量的夹角、

两向量垂直及数

量积的应用

2017课标全国Ⅱ,12;

2017山东,12;

2016山东,8;

2015重庆,6;

2014重庆,4

分析解读　1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;

掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.

五年高考

考点一　数量积的定义

1.（2017浙江,10,5分）如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·

I2=·

I3=·

则（　　）

A.I1<

I2<

I3B.I1<

I3<

I2

C.I3<

I1<

I2D.I2<

I3

答案　C

2.（2016天津,7,5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·

的值为（　　）

A.-B.C.D.

答案　B

3.（2014课标Ⅱ,3,5分）设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·

b=（　　）

A.1B.2

C.3D.5

答案　A

4.（2015湖北,11,5分）已知向量⊥,||=3,则·

=　　　　. 

答案　9

教师用书专用（5）

5.（2013湖北,6,5分）已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,-1）、D（3,4）,则向量在方向上的投影为（　　）

A.B.

C.-D.-

考点二　平面向量的长度问题

1.（2016北京,4,5分）设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案　D

2.（2014浙江,8,5分）记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则（　　）

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

3.（2017课标全国Ⅰ,13,5分）已知向量a,b的夹角为60°

|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. 

答案　2

教师用书专用（4）

4.（2013天津,12,5分）在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°

E为CD的中点.若·

=1,则AB的长为　　　　. 

答案　

考点三　平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用

1.（2016山东,8,5分）已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<

m,n>

=.若n⊥（tm+n）,则实数t的值为（　　）

A.4B.-4

C.D.-

2.（2015山东,4,5分）已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°

则·

=（　　）

A.-a2B.-a2

C.a2D.a2

3.（2015福建,9,5分）已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·

的最大值等于（　　）

A.13B.15C.19D.21

4.（2017山东,12,5分）已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°

则实数λ的值是　　　　. 

教师用书专用（5—8）

5.（2015重庆,6,5分）若非零向量a,b满足|a|=|b|,且（a-b）⊥（3a+2b）,则a与b的夹角为（　　）

A.B.C.D.π

6.（2015四川,7,5分）设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·

A.20B.15C.9D.6

7.（2014重庆,4,5分）已知向量a=（k,3）,b=（1,4）,c=（2,1）,且（2a-3b）⊥c,则实数k=（　　）

A.-B.0C.3D.

8.（2014安徽,15,5分）已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·

y1+x2·

y2+x3·

y3+x4·

y4+x5·

y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是　　　　（写出所有正确命题的编号）. 

①S有5个不同的值

②若a⊥b,则Smin与|a|无关

③若a∥b,则Smin与|b|无关

④若|b|>

4|a|,则Smin>

⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为

答案　②④

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·

基础题组

1.（2018北京朝阳期中,7）如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·

A.5B.-5C.1D.-1

2.（2017福建龙岩二模,7）已知向量与的夹角为60°

且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为（　　）

A.B.C.6D.4

3.（2017江西抚州七校联考,7）在Rt△AOB中,·

=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若·

=,则向量在向量上的投影为（　　）

A.B.1

C.1或D.或

4.（2017广东惠州调研,13）已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°

则（a-2b）·

（a+b）=　　　　. 

答案　12

5.（2018全国名校大联考,10）设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a·

b=-2,<

a-c,b-c>

=60°

则|c|的最大值等于（　　）

A.4B.2C.D.1

6.（2017福建漳州八校4月联考,5）在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·

A.3B.-3C.-D.

7.（2017湖南永州一模,11）已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb（x∈R且x≠0,y∈R）,则的最大值为（　　）

A.B.C.D.3

8.（2016江西赣南五校二模,6）△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为（　　）

A.B.C.-D.-

9.（2018福建三明一中期中,8）已知O是△ABC所在平面上一点,满足||2+||2=||2+||2,则点O（　　）

A.在过点C且与AB垂直的直线上

B.在∠A的平分线所在直线上

C.在边AB的中线所在直线上

D.以上都不对

10.（2017豫南九校4月联考,4）已知向量a=（m,2）,b=（2,-1）,且a⊥b,则等于（　　）

A.-B.1C.2D.

11.（人教A必4,二,2-4A,7,变式）若e1,e2是平面内夹角为60°

的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为（　　）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

12.（2017河北衡水中学模考,15）已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则·

的值为　　　　. 

答案　±

4

B组　2016—2018年模拟·

提升题组

（满分:

40分　时间:

35分钟）

一、选择题（每小题5分,共20分）

1.（2018广东广州华南师大附中,10）如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·

的最大值为（　　）

A.B.C.1D.

2.（2018四川成都七中期中）在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·

=5,则△ABC的形状是（　　）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.上述三种情况都有可能

3.（2017湖南郴州质量检测,9）已知A,B是单位圆O上的两点（O为圆心）,∠AOB=120°

点C是线段AB上不与A、B重合的动点,MN是圆O的一条直径,则·

的取值范围是（　　）

A.B.[-1,1）

C.D.[-1,0）

4.（2017湖北黄冈二模,10）已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥（a-2b）,（c-2a）·

（c-b）=0,则|c|的最大值与最小值的和为（　　）

A.0B.C.D.

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.（2017河南郑州一中模拟,14）如图,Rt△ABC中,∠C=90°

其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若||=2||=2,则·

答案　-3

6.（2016福建福州3月质检,14）已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则·

答案　10

三、解答题（共15分）

7.（2018湖南中原名校第四次质量考评,17）已知两个不共线的向量a,b满足a=（1,）,b=（cosθ,sinθ）,θ∈R.

（1）若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;

（2）当θ∈时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.

解析　

（1）由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-7b垂直,

所以（2a-b）·

（a-7b）=8-15a·

b+7=0,所以a·

b=1.

所以|a+b|2=|a|2+2a·

b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.

（2）由|a+b|=|ma|,得|a+b|2=|ma|2,

即|a|2+2a·

b+3|b|2=m2|a|2,

即4+2a·

b+3=4m2,

7+2（cosθ+sinθ）=4m2,

故4sin=4m2-7.

由θ∈,得θ+∈,又θ要有两解,结合三角函数图象可得,6≤4m2-7≤4,即≤m2≤,因为m>

0,所以≤m≤.故正数m的取值范围为.

C组　2016—2018年模拟·

方法题组

方法1　求向量长度的方法

1.（2018四川双流中学期中,9）已知平面向量,满足||=||=1,·

=-,若||=1,则||的最大值为（　　）

A.-1B.-1C.+1D.+1

2.（2017河南高三4月质检,9）在△ABC中,∠BAC=60°

AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·

=5,则||等于（　　）

A.6B.4C.2D.1

3.（2017广东五校协作体联考,15）已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·

a=c·

b=1,则对任意的正实数t,的最小值是　　　　. 

方法2　求向量夹角问题的方法

4.（2018云南玉溪模拟,4）已知向量a=（1,1）,2a+b=（4,2）,则向量a,b的夹角余弦值为（　　）

A.B.-C.D.-

5.（2017河南天一大联考

（一）,7）已知|a|=,a·

b=-,且（a-b）·

（a+b）=-15,则向量a与b的夹角θ为（　　）

A.B.C.D.

6.（2017河南百校联盟4月联考,14）已知非零向量a,b满足:

2a·

（2a-b）=b·

（b-2a）,|a-b|=3|a|,则a与b的夹角为　　　　. 

答案　90°

方法3　数形结合的方法和方程与函数的思想方法

7.（2017广东七校3月联考,11）在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°

AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点（M,N不与A,C重合）,且满足||=,则·

的取值范围为（　　）

8.（2018北京西城月考,16）如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点（与B、C不重合）,连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角角平分线于F.设BE=x,设f（x）=·

则函数f（x）的值域是　　　　. 

答案　（0,4]

9.（2017湖南长郡中学六模,14）如图,点O为△ABC的重心,且⊥,||=6,则·

答案　72