高中数学 每日一题新人教A版必修4.docx
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高中数学每日一题新人教A版必修4
4月24日“五点法”作函数的图象
高考频度：
★★☆☆☆难易程度：
★★☆☆☆
作出函数y=sin（x-）在长度为一个周期的闭区间上的简图.
【参考答案】见试题解析
【试题解析】函数y=sin（x-）的周期T==6π,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个关键点列表如下:
x-
0
π
2π
x
π
4π
7π
sin（x-）
0
0
-
0
描点作图,如图所示.
【解题必备】用五点法画函数的简图，先作变量代换，令，再用方程思想由X取0，，，，来确定对应的x值，最后根据x，y的值描点、连线，画出函数的图象.
1．已知函数y=2sin（+）.
（1）试用“五点法”画出它的图象;
（2）求它的振幅、周期和初相.
2．已知函数.
（1）列表并画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;
（2）求的单调递减区间.
1．【解析】
（1）令t=+,列表如下:
x
-
t
0
π
2π
y
0
2
0
-2
0
描点连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象:
（2）振幅A=2,周期T=4π,初相为.
【名师点睛】利用“五点法”作出函数在一个周期内的图象之后,只需把函数的图象向左右两方伸展出一部分即可.如果要作出函数在指定区间内的图象,则要注意对函数图象端点的处理.
2．【解析】
（1）函数的周期,我们用“五点法”作函数在一个周期上的图象.按五个关键点列表如下:
0
0
3
0
-3
0
描点作图，得到一个周期的简图,图象如下:
（2）由得,
所以,函数的单调递减区间为.
4月25日三角函数图象之间的变换
高考频度：
★★★☆☆难易程度：
★★★☆☆
要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sin（2x+）图象上的所有点的
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度
【参考答案】C
【试题解析】∵y=cosx=sin（x+）,
∴y=sin（2x+）的图象
y=sin（x+）的图象y=sin（x+）的图象.故选C.
【解题必备】变换作图法作的图象是指由函数y=sinx的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如图所示
由上可知函数y=sinx到的图象的变换途径为：
相位变换→周期变化→振幅变换，或周期变换→相位变化→振幅变换.
1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
2．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
3．有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的;
②横坐标变为原来的,再向左平移;
③横坐标变为原来的,再向左平移;
④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是
A．①和②B．①和③
C．②和③D．②和④
1．A【解析】由图象，得：
，则，即，因为图象过点，所以，解得，又，所以.则g（x）=sin2x的图象由的图象向右平移个长度单位得到.故选A.
2．D【解析】由题结合图象可得
故选D.
3．A【解析】对于①，将正弦曲线向左平移，可得到曲线，再将横坐标变为原来的，可得到曲线，所以正确；
对于②，将横坐标变为原来的，得到曲线，再向左平移，得到曲线，所以正确；
对于③，将横坐标变为原来的，得到曲线，再向左平移，得到曲线，所以错误；
对于④，向左平移，得到曲线，再将横坐标变为原来的，得到曲线，所以错误.故选A.
4月26日由图象求函数的解析式
高考频度：
★★★★☆难易程度：
★★☆☆☆
函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
A．B．
C．D．
【参考答案】D
【试题解析】由图知，当时，，，所以，所以．当时，，解得，当时，，所以函数表达式为，故选D．
【解题技巧】根据函数的图象确定函数中的参数主要方法：
（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；
（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．
1．如图所示为函数的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f（−1）=
A．B．C．2D．−2
2．函数的部分图象如图所示，则的值分别是
A．2，B．2，
C．4，D．4，
1．C【解析】由题中图象可得，即，由，结合图象可得，由两点之间的距离为5，解得，解得，故函数，故.故选C.
2．A【解析】由题意得：
又所以
而，所以
4月27日由图象变换求函数的解析式
高考频度：
★★★☆☆难易程度：
★★★☆☆
将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A．B．
C．D．
【参考答案】C
【试题解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得．故选C．
【解题必备】1.确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值.
2.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
1．将函数f（x）＝－cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在（0，）上单调递减，为奇函数
C．在（，）上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点（，0）对称
2．若把函数的图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变）,得到函数y=sinx的图象,则的解析式为
A．y=sin（2x-）+1B．y=sin（2x-）+1
C．y=sin（x+）-1D．y=sin（x+）-1
1．B【解析】由题意得，，
对于选项A，最大值为1正确，而，不关于直线对称，故A错误；对于选项B，当时，，g（x）在上单调递减，显然也是奇函数，故B正确；对于选项C，当时，，不满足单调递增，也不是偶函数，故C错误；对于选项D，周期，，故不关于点对称，故选B．
2．B【解析】将y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变）,得到y=sin2x的图象,再将所得图象向上平移1个单位,得到y=sin2x+1的图象,再把函数y=sin2x+1的图象向右平移个单位,得到y=sin2（x-）+1的图象,即函数的图象,所以f（x）=sin2（x-）+1=sin（2x-）+1,故选B.
4月28日三角函数模型的简单应用
高考频度：
★☆☆☆☆难易程度：
★★★☆☆
如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
（1）求出你与地面的距离y（米）与时间t（分钟）的函数关系式；
（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
【参考答案】见试题解析
【试题解析】
（1）由已知可设y＝40.5－40cosωt（t≥0），由周期为12分钟，可知，当时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以.即ω＝.
所以y＝40.5－40cost（t≥0）．
（2）设转第1圈时，第分钟时距地面60.5米，由，得，所以或，解得或，所以（分钟）时，第2次距地面60.5米.故第4次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20（分钟）．
【解题必备】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.
1．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁,黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘.礁盘外形呈等腰直角三角形,其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10~20米的湖.湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连,中型渔船和小型舰艇可由此进入维修或者避风,受热带季风的影响,四月份通道一天中整点（偶数）时的水深的近似值如下表:
时间（时）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
水深（米）
7.5
5.7
5
5.7
7.5
10
12.6
14.3
15
14.4
12.5
10.1
7.5
此通道的水深y（米）与时间x（时）可以用形如y=Asin（ωx+φ）+h（A>0,ω>0,|φ|<π）的函数来刻画.
（1）根据以上数据画出其近似图象,并求出水深y（米）与时间x（时）的具体函数关系式;
（2）若某渔船吃水深度为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,该船需进湖休息,一天中什么时刻可以进入湖内?
2．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示．
（1）求这条曲线对应的函数解析式；
（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
1．【解析】
（1）图象如图所示
由图可知该函数的最大值为15,最小值为5,最小正周期为24,
即A+h=15,h-A=5,，
解得A=5,h=10,ω=.又函数的图象过点（16,15）,即y=5sin（×16+φ）+10=15,
所以φ=-+2kπ（k∈Z）,又|φ|<π,所以φ=-.
所以水深y（米）与时间t（时）的函数关系式为y=5sin（x-）+10.
（2）因为该渔船吃水线为5米,船底与海底的安全间隙为2.5米,所以要使该渔船进湖休息,需水深不小于7.5米时进出,
即一天中需y=5sin（x-）+10≥7.5时进出,
解得x=0或8≤x≤24,
所以一天中0时或8时到24时可以进入湖内休息.
2．【解析】
（1）设这条曲线对应的函数解析式为s＝Asin（ωt＋φ）．
由图象可知：
A＝4，周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
此时所求函数的解析式为s＝4sin（2t＋φ）．
以点为“五点法”作图的第二关键点，则有2×＋φ＝，所以φ＝.
得函数解析式为s＝4sin.
（2）当t＝0时，s＝4sin＝4sin＝4×＝2（cm），
所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2cm.
4月29日周六培优特训
高考频度：
★★☆☆☆难易程度：
★★☆☆☆
1．要得到函数y=sin（2x+）的图象,只要将函数y=sin2x的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．已知y=Asin（ωx+φ）在同一
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