正弦余弦函数之叠合Word文档下载推荐.docx

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若設a,b為實數，且a2+b20，

則函數y=asinx+bcosx可以表為y=sin（x+），

其中為滿足sin=，cos=的角。

證明：

因為y=asinx+bcosx=（sinx+cosx），

而且（）2+（）2=1，點P（，）在單位圓上，因此可找到一個角度，使得sin=，cos=，

所以y=（cossinx+sincosx）=sin（x+）。

[討論]：

如果選擇點Q（，），則點Q亦在單位圓上，因此可找到一個角度，滿足cos=，sin=，

於是y=asinx+bcosx=（sinsinx+coscosx）=cos（x）。

例如：

將y=f（x）=sinx+cosx疊合成正弦與餘弦函數

（1）將y=f（x）=sinx+cosx疊合成正弦函數先求兩係數的平方和

的正平方根==2，再將原式提出2

y=f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）

cos=且sin=為第一象限角取=

y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）

（2）將y=f（x）=sinx+cosx疊合成餘弦函數先求兩係數的平方和的

正平方根==2，再將原式提出2

y=f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2（sinxsin+cosxcos）=2cos（x）

sin=且cos=為第一象限角取=

y=f（x）=sinx+cosx=2cos（x）

（2）圖解正餘弦函數的疊合：

DF+DE=asinx+bcosx

CG=ACsin（x+），其中AC=，而tan=

因為DF+DE=CG

所以asinx+bcosx=sin（x+）

結論：

（1）可將正餘弦函數的線性組合asinx+bcosx化成正弦函數，也可化成餘弦函數。

（2）y=asinx+bcosx

（3）f（x）=asinx+bcosx的週期為2。

（4）y=asinx+bcosx=sin（x+）的圖形是先將正弦函數y=sinx的圖形向左（0時），或向右（0時）平移||單位後，再上下伸縮倍而得到的圖形。

（5）函數y=asinx+bcosx=sin（x+）的週期為2，振幅為，

最大值為，最小值為。

[例題1]設

且

，若

，

則m=。

（93學科能力測驗）Ans：

306

[例題2]設y=cosxsinx+1，在下列範圍內，求y的最大值與最小值。

（1）xR

（2）xAns：

（1）3,1

（2）2,1

[例題3]

設y=3sinx+4cosx+10，0x，則當x=？

時，y有最大值M=？

Ans：

x=sin1，時M=15

[例題4]設0x，求y=32cos（）+2sinx的最大值，最小值。

5，3（利用和角公式先化簡cos（））

（練習1）求csc10sec10之值。

Ans：

4

（練習2）設sinx－

cosx＝acos（x－），

其中a＞0，而0＜＜2，則a＝　　　　　，而＝　　　　　。

a＝2；

＝

（練習3）

（1）y=sinxcosx最大值為_______，最小值為_______。

（2）y=sinxcosx+1最大值為_______，最小值為_______。

（3）y=5sinx12cosx最大值為_______，最小值為_______。

（4）y=40sinx+9cosx最大值為_______，最小值為_______。

（練習4）試求下列各函數的極大值與極小值

（1）f（x）=sinx+cosx+5

（2）g（x）=2sin（x）+2cosx+5

（3）設xy=，求h（x）=2cosx+2siny+5的極大值與極小值。

（1）極大值=7，極小值=3

（2）同1（3）同1

（練習5）設y=sin（）+cos2x

（1）若y=asin（2x+b），其中a>

0，0b<

2，求實數a,b之值。

（2）若0x，求y之最大值與最小值。

（1）a=，b=

（2），

（乙）三角函數的極值

[例題5]在下列條件下，求y=2sin2x3cosx+1之最大值及最小值。

（1）0x2，Ans：

M=，m=2

（2）0x，Ans：

M=1，m=2

[例題6]（2倍角+疊合求極值）

設0x，若f（x）=3sin2x+4sinxcosxcos2x，則

（1）當x=時，f（x）有最大值=。

（2）當x=時，f（x）有最小值=。

[答案]：

（1），5

（2），3

[解法]：

將f（x）=3sin2x+4sinxcosxcos2x

=3+4

=2sin2x2cos2x+1

=4（sin2xcos2x）+1

=4sin（2x）+1

因為0x，所以2x1sin（2x）1

當2x=x=，f（x）有最大值5。

當2x=x=，f（x）有最小值3。

作法：

正餘弦偶次式，求極值

f（x）=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d

（1）判定角方相同（∵角方依次為：

x2,xx,x2，均視為2次方）

（2）利用降次公式化同角，

sin2x=___________，sinxcosx=____________，cos2x=_____________

（3）產生疊合標準型將正弦+餘弦化為單一函數

f（x）=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d

=a_________+b_________+c__________+d

=sin2x+cos2x+（a+c+2d）

化f（x）=Asin2x+Bcos2x+C型後，求最大最小值。

[例題7]設f（）=sincos+sin+cos+1

（1）為任意實數時，f（）之最大值為，最小值為。

（2）時，f（）之最大值為，最小值為。

[提示：

令t=sin+cos]

（1）+，0

（2）+，2

[解答]：

先令t=sin+cos則t2=sin2+cos2+2sincos

∴sincos=且t=sin+cos=sin（+）

（1）原式f（）=sincos+sin+cos+1

=+t+1=t2+t+=（t+1）2

又Rt

∴f（）之最大值為（+1）2，最小值為0。

（2）時+sin（+）1

1sin（+）1t

∴f（）之最大值為（+1）2，最小值為2。

[例題8]

D

某公園內有一半徑50公尺的圓形池塘，池塘內有美麗的荷花池與錦鯉。

為了方便遊客觀賞，並使整體景觀更為雅緻，打算在池塘上建造一座“T”字型木橋（如右圖）。

試問這座木橋總長+最長有多長？

此時與兩段木橋的長度各為多少？

總長50+50公尺，此時=40,=50+10

[例題9]

如圖，扇形OAB的中心角AOB=90，半徑==1，P為弧AB上的動點，，，令AOP=，+=S，

（1）請以表示S。

（2）求S之最大值。

（1）cos2+sincos

（2）

（練習6）y=cos2x－3cosx＋3　之最大值為______，最小值為_______。

7,1

（練習7）設0x，則f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x最大值為　　　　　，最小值為　　　　　。

；

1

（練習8）設0x2，f（x）=1+sinx+cosxsinxcosx，則下列何者為真？

（A）f（x）最大值為2（B）f（x）最小值為1（C）x=0,,2時f（x）有最大值

（D）x=225時，f（x）之值為最小值（E）f（x）之最大值與最小值之和為

（A）（C）（D）（E）

綜合練習

（1）求的值。

（2）關於函數y=f（x）=（sinx+cosx）的圖形，

下列敘述那些是正確的?

（A）y=f（x）的週期為

。

（B）y=f（x）的振幅為。

（C）y=f（x）的圖形與y軸的交點為（0,）。

（D）y=f（x）的圖形與x軸有無限多個交點。

（E）y=f（x）的圖形對稱於原點。

（3）關於函數y＝sinxcosx之圖形（A）週期為2　（B）週期為　（C）y之最大值為2　（D）y之最大值為　（E）對稱於原點。

（4）下列哪些函數的最小正週期為π？

。

（92學科能力測驗）

（1）sinx+cosx

（2）sinxcosx（3）|sinx+cosx|（4）|sinxcosx|（5）|sinx|+|cosx|

（5）y=cosxsinx，0x，在x=時，有最大值M，在x=時，有最小值m，求,,M,m。

（6）下列各題經過變換後，求其最大值與最小值。

（a）求y=sin（x+）+sin（x）之最大值與最小值。

（b）求y=2sinx+2sin（x+）之最大值與最小值。

（7）函數y=12sinx5cosx，x的範圍如下，分別求y的最大值與最小值。

（a）xR（b）0x

（8）設x，y＝cos2x－4sinx－3，

則（a）當　x＝_________時，y　有最小值為_________。

（b）當　x＝_________時，y　有最大值為_________。

（9）

設<

x<

，解cosxsinx=1。

（10）如右圖，正方形A與B的面積和為1，

（a）設正方形A與B的邊長分別為sin、cos，

請利用sin與cos來表示MNL的面積。

（b）請求出MNL的面積的最大值。

（11）設x+y=，求sinx+2siny的最大值為何？

（12）求y=3sin2x+4sinxcosxcos2x其中x，求y的最大值與最小值，並說明此時x值為何？

（13）

如右圖，以為直徑做一圓，且=2，P點在半圓上，設PAB=，

（a）試以表示3+4（b）試求3+4的最大值。

進階問題

（14）求y=的極值。

（15）半徑為r的圓內接矩形，令其對角線夾角為；

（a）試以r，表其周長。

（b）試求周長的最大值。

（16）

已知扇形OAB的圓心角為，半徑為1，P為AB弧上

的動點，於C點，於D點，試求

四邊形PCOD的最大面積。

綜合練習解答

（1）4

（2）（C）（D）

（3）（A）（D）

（4）（3）（4）

（5）=0，M=1；

=，m=2

（6）（a）最大值為，最小值（b）最大值為2，最小值2

（7）（a）M=13,m=13（b）M=12,m=5

（8）（a）,7（b）,

（9）x=

（10）（a）cos（sincos）（b）

（a）MNL==cos（sincos）

（b）cos（sincos）=（cossincos2）=[sin2]

=[sin2cos2]=[sin

（2）]MNL的面積的最大值為

（11）[提示：

y=x，sinx+2siny=sinx+2sin（x）=2sinx+cosx]

（12）x=，最大值5與x=最小值12

（13）（a）6cos+8sin（b）10

（14）0y[提示：

令y=sinxycosx=3y1sin（x+）=3y1sin（x+）=||10y。

]

（15）（a）4r（

），（b）4

（16）[提示：

連，並設POB=，0，則四邊形PCOD的面積=sincos+sin（）cos（）=[sin2+sin

（2）]=（sin2+cos2）=sin（2+）]