最新北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案Word格式文档下载.docx
《最新北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案Word格式文档下载.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
阅读教材P115～P117的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
3．下列图形中是轴对称图形的有（ B ）
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
4．两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．
解：
如图所示：
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？
如果是，说出它有几条对称轴．
【互动探索】
（引发学生思考）如何判断一个图形是否是轴对称图形？
如何找轴对称图形的对称轴？
【解答】
（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；
（2）（4）（8）有1条对称轴；
（7）有4条对称轴；
（10）有2条对称轴．
【互动总结】
（学生总结，老师点评）判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，沿这条直线折叠，使它两旁的部分能够互相重合．
【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？
整个图形是轴对称图形吗？
它共有几条对称轴？
（引发学生思考）可用两个图形成轴对称的概念来解决．
【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称．
整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
（学生总结，老师点评）
（1）两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别：
两个图形成轴对称
轴对称图形
联系
操作方式相同：
沿一条直线折叠
沿直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合
可以相互转化：
把成轴对称的两个图形看作一个整体，就可以得到一个轴对称图形；
把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形，它们就是成轴对称的两个图形
区别
成轴对称是对于两个图形而言
轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁
一个图形被直线分成两部分
折叠后，一个图形与另一个图形完全重合
折叠后，图形的一部分与另一部分互相重合（即重合到自身上）
（2）轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状与位置的关系．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ C ）
2．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为书.
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数
3
4
5
6
7
…
对称轴的条数
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
如图：
4．观察图中的各种图形，说明哪些图形放在一起可形成轴对称．
根据轴对称图形的性质得出：
（1）和（6），
（2）和（4），（9）和（10）能形成轴对称图形．
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例3】轴对称在数学计算中有巧妙的应用．如图1，现要计算长方形中六个数字的和，我们发现，把长方形沿对称轴l1对折，重合的数字均为4，故六个数字的和为3×
4＝12；
若沿对称轴l2对折，则六个数字的和可表示为4×
2＋2×
2＝12.受上面方法的启发，请快速计算正方形（图2）中各数字之和．
图1 图2
【互动探索】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算．
【解答】如图所示，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线所在直线当作对称轴，把正方形对折一下，对称位置上的两数之和均为10，这样正方形中各数字之和为10×
10＋5×
5＝125.
（学生总结，老师点评）数形结合是初中数学的一种重要思想方法，在求一组有特殊规律的数字的和时，经常会用到对称的思想及其相关的知识．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
轴对称现象
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 探索轴对称的性质
1．经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念．
2．理解轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
探索并掌握轴对称的性质．
运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题．
阅读教材P118～P119的内容，完成下面练习．
1．我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角.
2．轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
3．画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
4．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
相等的线段：
AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；
相等的角：
∠B＝∠E，∠C＝∠D，∠BAF＝∠EAF，∠AFD＝∠AFC．
5．把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
【例1】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，∠C＝95°
，则AE＝________，∠D＝________.
（引发学生思考）因为△ABC和△AED关于直线l对称，AB＝2cm，∠C＝95°
，所以AE＝AB＝2cm，∠D＝∠C＝95°
.
【答案】2cm 95°
（学生总结，老师点评）解此类问题应先根据条件确定对应点，从而确定对应线段、对应角．
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形．
（引发学生思考）画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
（学生总结，老师点评）画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．
1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°
，∠C′＝30°
，则∠B的度数为（ D ）
A．30°
B．50°
C．90°
D．100°
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线交于点Q，点P是直线MN上面一点，下列判断错误的是（ D ）
A．AQ＝BQ B．AP＝BP
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠NMB
3．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°
，∠B＝40°
，则∠BCD的度数是（ A ）
A．130°
B．150°
C．40°
D．65°
4．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．
5．如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4，并且∠2＋∠3＝90°
，∠4＋∠5＝90°
.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5＝30°
，那么∠1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋？
请说明理由．
∠1＝30°
才能保证黑球准确入袋．
理由如下：
如图，因为∠5＝30°
，
所以∠7＝∠5＝30°
因为∠3＝∠4，
所以∠6＝∠7＝30°
所以∠2＝∠6＝30°
所以∠1＝∠2＝30°
即∠1＝30°
【例3】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠EFB＝60°
，则∠CFD＝（ ）
A．20°
B．30°
D．50°
【互动探索】根据图形翻折变换，得△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称，所以△ADE≌△FDE，所以∠EFD＝∠EAD＝90°
.因为∠EFB＝60°
，所以∠CFD＝90°
－∠EFB＝30°
【答案】B
（学生总结，老师点评）折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形
1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．
2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．
等腰三角形、等边三角形的性质．
等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．
阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．
1．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是轴对称图形；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；
（3）等腰三角形的两个底角相等.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）因为AD⊥BC，
所以∠BAD＝∠CAD，BD＝CD；
（2）因为AD是中线，
所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；
（3）因为AD是角平分线，
所以AD⊥BC，BD＝CD；
（4）因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
3．完成教材P121“想一想”：
（1）等边三角形有三条对称轴，内角的平分线（各边上的中线、各边上的高）所在的直线为其对称轴．
（2）等边三角形的特征：
①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60°
；
②是轴对称图形；
③具有等腰三角形的一切特征．
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．
（引发学生思考）设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，
所以∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD．
设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
所以x＋2x＋2x＝180°
，解得x＝36°
所以在△ABC中，∠A＝36°
，∠ABC＝∠C＝72°
（学生总结，老师点评）当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D．求证：
∠BAD＝2∠DBC．
（引发学生思考）由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”证明结论．
【证明】过点A作AE⊥BC于点E.
因为AB＝AC，AE⊥BC，
所以∠BAD＝2∠2.
因为BD⊥AC于点D，
所以∠BDC＝90°
所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°
所以∠DBC＝∠2，
所以∠BAD＝2∠DBC．
（学生总结，老师点评）解决本题的关键：
（1）从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；
（2）在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等．
1．已知等腰三角形的一个角为80°
，则其顶角为（ D ）
或80°
C．10°
D．20°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝3cm.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°
，则BC＝5.
4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：
BM＝CM.
证明：
因为AB＝AC，CN＝AC，
所以AB＝CN，∠N＝∠CAN.
又因为AB∥CN，
所以∠BAM＝∠N，
所以∠BAM＝∠CAM，
所以AM为∠BAC的平分线．
又因为AB＝AC，
所以AM为△ABC的边BC上的中线，
所以BM＝CM.
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°
，求∠A的度数．
【互动探索】要求∠A，需讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．
【解答】分情况讨论：
当∠A为顶角时，则∠B＝∠C．
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°
，∠A＋∠B＝130°
所以∠B＝∠C＝50°
，所以∠A＝80°
当∠C为顶角时，则∠A＝∠B．
因为∠A＋∠B＝130°
，所以∠A＝65°
当∠B为顶角时，则∠A＝∠C．
所以∠A＝∠C＝50°
综上所述，∠A的度数可以为80°
，65°
或50°
（学生总结，老师点评）本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本题易忽略讨论∠B是顶角还是底角．
等腰三角形
第2课时 线段的垂直平分线
1．探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
2．会用尺规作图作一条线段的垂直平分线．
3．经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
垂直平分线的有关性质．
用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．线段的垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
3．线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为（ B ）
A．6 B．5
C．4 D．3
【例1】详细过程见教材P124例1.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，求BC的长．
（引发学生思考）DE垂直平分AB→AD＝BD→△DBC的周长为35cm→BC＋AD＋CD＝35cm→求出BC．
【解答】因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD．
因为△DBC的周长为35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，
所以BC＋AD＋CD＝35cm.
又因为AC＝AD＋DC＝20cm，
所以BC＝35－20＝15（cm）．
（学生总结，老师点评）利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为（ C ）
A．13 B．15
C．17 D．19
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，∠B＝60°
，∠C＝25°
，则∠BAD为（ B ）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
3．如图，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°
，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°
，求∠C的度数．
因为∠B＝90°
，∠BAE＝10°
所以∠BEA＝80°
因为ED是AC的垂直平分线，
所以AE＝EC，所以∠C＝∠EAC．
因为∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
，∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，
所以10°
＋∠EAC＋90°
＋∠C＝180°
所以∠C＝∠EAC＝40°
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC＋AD．
（1）根据AD∥BC可知∠ADE＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【证明】
（1）因为AD∥BC，
所以∠ADE＝∠ECF.
因为E是CD的中点，
所以DE＝EC．
又因为∠AED＝∠CEF，
所以△ADE≌△FCE，
所以FC＝AD．
（2）因为△ADE≌△FCE，
所以AE＝EF，AD＝CF.
因为BE⊥AE，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因为AD＝CF，
所以AB＝BC＋AD．
（学生总结，老师点评）此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．
【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图．
【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置．
（学生总结，老师点评）此题主要考查了应用作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线
第3课时 角平分线的性质
1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．
2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．
掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．
角平分线的性质的应用．
阅读教材P125～P126的内容，完成下面练习．
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长为（ D ）
A．2 B．3
C．4 D．6
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于14.
【例1】详细过程见教材P126例2.
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°
，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？
（引发学生思考）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系．
【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：
因为∠ACB＝90°
，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
所以DE＝CE，
所以AC＝AE＋CE＝3cm.
（学生总结，老师点评）本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°
，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是（ D ）
A．9 B．8
C．7 D．6
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D．若AD＝8，则点P到BC的距离是4.
4．如图，已知BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为2.4cm.
升级会员 