矩形的性质和判定同步练习及答案Word文件下载.docx
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四边形
EFGH是矩形.
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD订交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD
为矩形,则需增添的条件为(填一个即可).
题8题11题12
9.已知四边形ABCD为平行四边形,要使得四边形ABCD为矩形,则可以增添一个条件
为.
10.木工做一个矩形木框,长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框(填
“合格”或“不合格”)
11.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不增添任何辅助线的状况下,请补
充一个条件,使四边形ABCD成为矩形,这个条件是.
12.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你增添一
个条件,使四边形DBCE是矩形.
二.解答题
13.如图,在?
ABCD中,∠BAD的均分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠
F=45°
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值.
14.如图,AD是等腰△ABC底边BC上的高.点O是AC中点,延长DO到E,使OE=OD,连接
AE,CE.
四边形ADCE的是矩形;
(2)若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.
15.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°
,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,
EC交AF于点G.
四边形ABCF是矩形;
(2)若EA=EG,求证:
ED=EC.
16.如图,在?
ABCD中,AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.
四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.
17.平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.
四边形BFDE是矩形;
(2)若AF均分∠BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.
矩形的性质和判断解析
一.填空题(共12小题)
且EF均分∠BED,则AD的长为12.
【解析】依照两直线平行,内错角相等求出∠AEB=∠EBC,再求出∠ABE=∠EBC,依照等角对
等边可得AE=AB,此后依照AD=AE+ED代入数据计算即可得解.
【解答】解:
∵矩形ABCD中,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵∠ABC的均分线交AD边于点E,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=8,
同理得出ED=DF=DC=4,
∴AD=AE+ED=8+4=12,
故答案为:
12.
2.若矩形的一条对角线与一边的夹角是
40°
80°
【解析】由于两条对角线订交所成的锐角只有一个,直接应用三角形的内角和定理求解即可.
由矩形的对角线相等且相互均分,所构成的三角形为等腰三角形,利用等边对
等角,所以另一底角为40°
,
两条对角线订交所成的钝角为:
180°
﹣40°
×
2=100°
故它们所成锐角为:
﹣100°
=80°
故答案为80.
3.如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是.
【解析】依照四边形ABCD是矩形,获得∠ABE=∠BAD=90°
,依照余角的性质获得∠BAE=∠
ADB,依照相似三角形的性质获得BE=1,求得BC=2,依照勾股定理获得AE==,BD==,依照三角形的面积公式获得BF==,过F作FG⊥BC于G,依照相似三角形的性质获得CG=,依照
勾股定理即可获得结论.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABE=∠BAD=90°
∵AE⊥BD,
∴∠AFB=90°
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB,
∴△ABE∽△ADB,
∴,
∵E是BC的中点,
∴AD=2BE,
∴2BE2=AB2=2,
∴BE=1,
∴BC=2,
∴AE==,BD==,
∴BF==,
过F作FG⊥BC于G,∴FG∥CD,
∴△BFG∽△BDC,
∴==,
∴FG=,BG=,∴CG=,
∴CF==.
4.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,
AE=2EM,则BM的长为.
【解析】由AAS证明△ABM≌△DEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连接DM,由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM,得出EM=CM,所以BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM
中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
∴AB=DC=1,∠B=∠C=90°
,AD∥BC,AD=BC,∴∠AMB=∠DAE,
∵DE=DC,
∴AB=DE,
∵DE⊥AM,
∴∠DEA=∠DEM=90°
在△ABM和△DEA中,,
∴△ABM≌△DEA(AAS),
∴AM=AD,
∵AE=2EM,
∴BC=AD=3EM,
连接DM,以以下列图:
在Rt△DEM和Rt△DCM中,,∴Rt△DEM≌Rt△DCM(HL),∴EM=CM,
∴BC=3CM,
设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,
在Rt△ABM中,由勾股定理得:
2
1+(2x
)
=(3x),
解得:
x=,
∴BM=;
5.如图,在矩形ABCD中,∠ABC的均分线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4,则CE=
5.
【解析】第一证明AB=AE=CD=4,在Rt△CED中,依照CE=计算即可.
∴AD∥BC,AB=CD,BC=AD=7,∠D=90°
∵∠ABE=∠EBC,
∴AB=AE=CD=4,
在Rt△EDC中,CE===5.
故答案为5
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD订交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若
AB=6cm,BC=8cm,则EF=cm.
【解析】依照勾股定理求出AC,依照矩形性质得出∠ABC=90°
,BD=AC,BO=OD,求出BD、OD,依照三角形中位线求出即可.
∴∠ABC=90°
,BD=AC,BO=OD,
∵AB=6cm,BC=8cm,
∴由勾股定理得:
BD=AC==10(cm),
∴DO=5cm,
∵点E、F分别是AO、AD的中点,
∴EF=OD=,
7.如图,连接四边形ABCD各边中点,获得四边形
AC⊥BD
条件,才能
保证四边形EFGH是矩形.
【解析】依照三角形的中位线平行于第三边,HG∥BD,EH∥AC,依照平行线的性质∠EHG=
∠1,∠1=∠2,依照矩形的四个角都是直角,∠EFG=90°
,所以∠2=90°
,所以AC⊥BD.
∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点,
∴HG∥BD,EH∥AC,
∴∠EHG=∠1,∠1=∠2,
∴∠2=∠EHG,
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠EHG=90°
∴∠2=90°
∴AC⊥BD.
故还要增添AC⊥BD,才能保证四边形EFGH是矩形.
为矩形,则需增添的条件为∠DAB=90°
(填一个即可).
【解析】依照对角线相互均分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,添
加条件∠DAB=90°
可依照有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断.
可以增添条件∠DAB=90°
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠DAB=90°
∴四边形ABCD是矩形,
∠DAB=90°
9.已知四边形ABCD为平行四边形,要使得四边形ABCD为矩形,则可以增添一个条件为∠
BAD=90°
.
【解析】依照矩形的判断方法:
已知平行四边形,再加一个角是直角填空即可.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°
∠BAD=90°
(答案不独一).
10.木工做一个矩形木框,长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框合
格(填“合格”或“不合格”)
【解析】只要算出桌面的长与宽的平方和能否等于对角线的平方,假如相等可得长、宽、对
角线构成的是直角三角形,由此可获得每个角都是直角,依照矩形的判断:
有三个角是直角
的四边形是矩形,可得此桌面合格.
解:
∵
802+602=10000=1002,
222
即:
AD+DC=AC,
∴∠D=90°
同理:
∠B=∠BCD=90°
故答案为合格.
充一个条件,使四边形ABCD成为矩形,这个条件是∠A=90°
【解析】依照有一个角是90°
的平行四边形是矩形,即可解决问题.
∵AB∥DC,AB=DC,
∴当∠A=90°
时,四边形ABCD是平行四边形.
故答案为∠A=90°
.(填∠B=90°
或∠C=90°
或∠D=90°
也可以)
12.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你增添一个条件EB=DC,使四边形DBCE是矩形.
增添EB=DC.原由以下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴DE∥BC,
又∵DE=AD,
∴DE=BC,
∴四边形DBCE为平行四边形.
又∵EB=DC,
∴四边形DBCE是矩形.
故答案是:
EB=DC.
二.解答题(共6小题)
ABCD中,∠BAD的均分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°
【解析】
(1)欲证明四边形ABCD是矩形,只要推知∠DAB是直角;
(2)如图,过点B作BH⊥AE于点H.成立直角△BEH.经过解该直角三角形可以求得sin
∠AEB的值.在Rt△BCE中,由勾股定理得.在Rt△AHB中,BH=AB?
sin45°
=7.所以经过
解Rt△BHE获得:
sin∠AEB=.
【解答】
(1)证明:
∴AD∥BC.
∴∠DAF=∠F.
∵∠F=45°
∴∠DAE=45°
∵AF是∠BAD的均分线,∴∠EAB=∠DAE=45°
∴∠DAB=90°
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)解:
如图,过点B作BH⊥AE于点H.∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠DCB=∠D=90°
.∵AB=14,DE=8,
∴CE=6.
在Rt△ADE中,∠DAE=45°
∴∠DEA=∠DAE=45°
∴AD=DE=8.
∴BC=8.
在Rt△BCE中,由勾股定理得.在Rt△AHB中,∠HAB=45°
∴BH=AB?
=7.
∵在Rt△BHE中,∠BHE=90°
∴sin∠AEB=.
(1)依照平行四边形的性质得出四边形ADC=90°
,依照矩形的判断得出即可;
ADCE是平行四边形,依照垂直推出∠
(2)求出DC,依照勾股定理求出AD,依照矩形的面积公式求出即可.【解答】
∵点O是AC中点,
∴AO=OC,∵OE=OD,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高,
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形;
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高,BC=16,AB=17,
∴BD=CD=8,AB=AC=17,∠ADC=90°
,由勾股定理得:
AD===15,
∴四边形ADCE的面积是AD×
DC=15×
8=120.
,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G.
(1)由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形,再由∠B=90°
可证得结论;
(2)利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC,再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD,可证得ED=EC.
【解答】证明:
(1)∵AB∥CD,且FC=AB,
∴四边形ABCF为平行四边形,∵∠B=90°
∴四边形ABCF是矩形;
(2)∵EA=EG,
∴∠EAG=∠EGA=∠FGC,
∵四边形ABCF为矩形,
∴∠AFC=∠AFD=90°
∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°
∴∠D=∠ECD,
∴ED=EC.
(1)先证明四边形AEFD是平行四边形,再证明∠AEF=90°
即可.
(2)证明△ABF是直角三角形,由三角形的面积即可得出AE的长.
∵CF=BE,
∴CF+EC=BE+EC.即EF=BC.
∵在?
ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
∴AD∥EF且AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°
∴四边形AEFD是矩形;
∵四边形AEFD是矩形,DE=8,
∴AF=DE=8.
∵AB=6,BF=10,
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2.
∴∠BAF=90°
∵AE⊥BF,
∴△ABF的面积=AB?
AF=BF?
AE.
∴AE===.
(1)依照有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判断.
(2)第一证明AD=DF,求出AD即可解决问题.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴DF∥BE,
∵CF=AE,∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°
,∴四边形BFDE是矩形.
(2)∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠AFD,
∵AF均分∠BAD,
∴∠DAF=∠AFD,
∴AD=DF,
在Rt△ADE中,∵AE=3,DE=4,∴AD==5,
∴矩形的面积为20.
18.在?
ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.
(2)若AD=DF,求证:
AF均分∠BAD.
(1)先证明四边形BFDE是平行四边形,再证明∠DEB=90°
(2)欲证明AF均分∠BAD,只要证明∠DAF=∠BAF即可.【解答】证明:
∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥DF,∵CF=AE,
∴DF=BE,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°
∴四边形BFDE是矩形.
(2)由
(1)可知AB∥CD,
∵AD=DF,
∴∠BAF=∠DAF,
即AF均分∠BAD.