华师大版九年级下 27证明 全章节教案Word格式文档下载.docx

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投影仪，胶片．

教学过程

教师活动

学生活动

（一）情境导入

1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？

2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？

用尺度量结果是否与你感觉一样？

学生自主探究,并跃跃欲试,来量一量，发现与自己的的感觉有有偏差

（二）归纳总结．

1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．

2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．

公理：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；

（4）全等三角形的对应边、对应角相等．

定理：

在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面．

明白证明的必要性

师生共同回忆书中的有关性质以及等量代换，定理、公理，并明白证明的书写方法步骤。

（三）实践与探索

例1　用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．

已知：

△ABC.　求证：

∠A+∠B+∠C=180°

．

分析　回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°

，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BE∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处

得：

三角形内角和定理：

三角形的内角和等于180度．

说明

（1）为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；

（2）该定理的推理形式：

因为△ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°

（三角形内角和定理）；

（3）该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°

．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°

例2　如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O，且∠A=80°

，求∠BOC的度数。

分析　在△ABC中，已知∠A的度数，利用三角形内角和定理，求∠ABC与∠ACB的和，又因为BD，CE分别平分∠ABC与∠ACB可得∠1与∠2的和，在△BOC中由三角形内角和定理可求∠BOC的度数．

师生共同分析，从180°

入手，考虑有几种不同的证法。

搞清辅助线的含义及画法并明白定理的推理形式

学生自主探究，应用三角形内角和解题。

（四）小结与作业

小结：

（1）探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；

（2）逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；

（3）注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．

各抒己见，并互相补充。

（五）板书设计

证明的再认识

（2）

2

毛中初三数学组

1．掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；

2．用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理．

在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式

通过画图得出二次函数特点

识图能力的培养

我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？

哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？

求证：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

如图，∠CBD是△ABC的一个外角．

∠CBD＝∠A+∠C．

学生先思考三角形的外角性质，再画图证明。

（二）探究归纳

我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：

全等三角形的判定公理：

边角边、角边角、边边边．除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？

（角角边）我们一起来证明命题：

有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．

△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．

△ABC≌△A′B′C′．

弄清真命题的分类，并画图证明其中之一：

有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等

（二）实践与探索1

例1　如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE．求证：

△AEB≌△AEC．

例2　如图，已知点A，C分别是线段BE、BD上的一点，连结AC，EC，AD．求证：

∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E＝180°

．说明　

1．换一个角度看，还可把5个角集中转移到平角∠BAE处；

2．变式：

移动点A和点C的位置，可得一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

学生独立分析弄清解法，尽量用多种方法解题。

根据180，考虑

如何转化为三角形的内角和。

学生独立完成。

（三）交流反思，作业

1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；

2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题．

师生共同总结。

（四）板书设计

（五）教后记

用推理方法研究三角形

（1）

3

1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；

2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．

在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．

请同学们按以下步骤画△ABC．

1．任意画线段BC；

2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A．

这个△ABC是一个什么三角形？

怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？

大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：

等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？

现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．

学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.

二、探究归纳．

1．求证：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：

AB＝AC．

分析　要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”

说明

（1）还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．

（2）推理形式：

因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）

所以AB＝AC．（等角对等边）

师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。

思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。

2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？

（1）等边对等角；

（2）等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．

等腰三角形的两个底角相等．

△ABC中，AB＝AC．

∠B＝∠C．

分析　仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．

等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角”）

推理形式：

因为△ABC中，AB＝AC．（已知）

所以∠B＝∠C．（等边对等角）

（1）也可作中线AD或BC边上的高线AD；

（2）由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°

，因此AD也是中线，是BC边上的高线．

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）

回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。

多种语法，发散思维。

理解识记。

例　如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．

BE⊥AC．

分析　由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝

∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°

，即BE⊥AC．

师生共同研究。

1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．

2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．

作业

4

用推理方法研究三角形（3）

5

1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；

2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；

3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．

过程性目标：

能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．

目标1、2、3

在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．

学生自主探究,画图,实验

1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．

OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．

PD＝PE．

分析　只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。

角平分线性质定理：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等．

2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？

画出图形，我们通过证明来解答这个问题．

如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

点Q在∠AOB的平分线上．

分析　要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．

角平分线判定定理：

到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．

用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。

（三）实践与探索2

我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实．

分析　要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．

如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．

点O在CF上．

1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；

2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．

例如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：

OB＝OC．

分析要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．

师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．

学生独立思考完成证明。

1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；

2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；

3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．

作业：

1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：

点F在∠DAE的平分线上．

2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：

AB＝CD+AC．

6

用推理方法研究三角形（5）

7

1.正确理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，能正确判断命题的真假；

2.会证明勾股定理的逆定理，能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算．

1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力；

2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力．

知识技能目标中的1、2

过程性目标中的1、2

前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：

“两直线平行，内错角相等”；

“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？

学生回忆前面学习的有关定理,自主探究,观察这些命题的题设与结论,发现特点.

1．命题“两直线平行，内