新教材高中数学第八章立体几何初步81基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征学案新人教A版必Word下载.docx
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两个面的公共边叫做多面体的棱；
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类
图形及记法
棱柱
结构特征
（1）有两个面（底面）互相平行
（2）其余各面都是四边形
（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行
记作棱柱
ABCDEFA′B′C′D′E′F′
分类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
续 表
棱锥
（1）有一个面（底面）是多边形
（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形
记作
棱锥SABCD
按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台
（1）上下底面互相平行，且是相似图形
（2）各侧棱延长线相交于一点
（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）
棱台ABCDA′B′C′D′
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
■名师点拨
（1）棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．
（2）各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）棱柱的侧面都是平行四边形．（ ）
（2）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． （ ）
（3）将棱台的各侧棱延长可交于一点．（ ）
答案：
（1）√
（2）×
（3）√
下面多面体中，是棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
解析：
选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足.
下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
很明显C项中的几何体是棱台．
在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为 （ ）
A．1B．2
C．3D．4
选D.每个面都可作为底面，有4个．
下列说法正确的有________．（填序号）
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故②错，③对．因而正确的有①③.
①③
下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__________．
【解析】 ①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
【答案】 ③④
棱柱结构特征的辨析技巧
（1）扣定义：
判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
（2）举反例：
通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
选D.由棱柱的定义可知，选D.
2．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱，并用符号表示；
如果不是，请说明理由．
解：
截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为②③④.
【答案】 ②③④
判断棱锥、棱台形状的两种方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
（2）直接法
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
1．棱台不具有的性质是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点
选C.由棱台的概念（棱台的产生过程）可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
2．下列说法中，正确的是（ ）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①②B．①③
C．②③D．②④
选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；
四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；
棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
空间几何体的平面展开图
（1）水平放置
的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．1B．9
C．快D．乐
（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【解】
（1）选B.由题意，
将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；
题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；
题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
（1）绘制展开图：
绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
（2）由展开图复原几何体：
若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
1.
某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（ ）
选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．
2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
选C.棱柱有三个特征：
（1）有两个面相互平行．
（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③B．③④C．①②④D．①②
选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（ ）
A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥
选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．
4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为__________cm.
因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为
＝12（cm）．
12
5．画一个三棱台，再把它分成：
（1）一个三棱柱和另一个多面体．
（2）三个三棱锥，并用字母表示．
画三棱台一定要利用三棱锥．
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；
可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；
用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．
2．具备下列条件的多面体是棱台的是（ ）
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．
3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中
≠
，故A不正确；
选项B中
，故B不正确；
选项C中
＝
，故C正确；
选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°
，如果是六棱锥，因为6×
60°
＝360°
，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是（ ）
选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
四棱柱有4条侧棱，8个顶点（可以结合正方体观察求得）．
4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
5 6 9
8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．（填序号）
由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．
①②
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
（2）这是一个六棱锥．
（3）这是一个三棱台．
10．画出如图所示的几何体的表面展开图．
表面展开图如图所示：
（答案不唯一）
[B 能力提升]
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条B．15条
C．12条D．10条
选D.
如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×
5＝10（条）．
12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
13．长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：
3
，2
，
，显然最小值是3
.
14．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱？
为什么？
（2）用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
（1）是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形（四边形），且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
（2）各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.
[C 拓展探究]
15．如图，
在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
（1）不对，水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
（2）不对，水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；
但不可能是棱台或棱锥．
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；
水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
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