数值分析复习题13docWord格式.docx
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n厂学仝,弦截法迭代公式：
£
+2=f—、x.fg）八占）/匕+1）-/（兀”）
3.迭代过程x,+1=-xk+4收敛于x*=V3时，问其有几阶收敛速度。
3耳
2121|
3.解因为°
（x）=—xH—,0（x）=—2—,©
"
（x）=6——
3JT3JTX
加）=0,心件詁。
故是二阶收敛。
（第一个不等于0的一阶导数阶数）
4.判断用下列两种迭代格式
兀i+i
=^2八0丄2,…=扣；
—5）,"
0,1,2,…
=导2林+5,k=0,1,2,…
求方程
『一2—5=0
在［2,3］内的根的收敛性。
4.解1）
2）
0（兀）=2兀：
5,0（兀）：
max\（p\x）l>
1,发散2<
x<
30（兀）=*（/-5）'
0（x）
—2（兀+5）
乃、—14—16
?
⑵"
瓦"
⑶"
方
=—X23,0
（2）=6>
1,max\（p\x）\>
1,所以发散。
22*3
3）
向量范数定义小范数定义』兀II]=1舛I+I兀2I+…+I£
I2■范数定义：
11x112=Jx；
+兀；
+理…+兀；
8-范数定义:
llxll00=max（lx/1）
1
3
3.A=
则1141/
8
_3
4
-1
IIAll,=
矩阵范数定义：
行范数（无穷范数）：
每一行元索绝对值相加的最大值j=4
列范数（1范数）:
每一列元素绝对值和加的最大值声
2•范数:
AAr特征根最大值，再开根号
4.矩阵A的范数应满足卜-列四个条件：
非负性，齐次性，二角不等式，相容性
5.设^=（aiJ）nxn为对角占优阵，则矩阵A的元素应满足条件
6.用Doolittle.Crout分解法和平方根法求解下列线性方程组
「124
兀1
~4~
266
—
5
467
_6
7.试对下列线性方程组进行等价变换，确保雅克比迭代和高斯一赛徳尔迭代法收敛，并写出迭代格式。
5兀]+2x2+兀3=5
第五章
1.片78：
1；
2；
4；
10；
14
1•厶（沪汩入总八-（_1卄，"
）=今31）
2.差分表
f（xt）一阶二解三阶
等距离向前插值多项式（f>
0）
入―八八八g-0.040-0.150z（、0.029z…
=N、（-0.1+0.4/）=0.995+1+r（z-1）+t（t一1）（/一2）
1!
!
3!
令一0」+0.4/二
=0.2,t=-
N.（0.2）=0.995+~（），04（）-+~°
'
50-+-0.981
42!
443!
444
—0」
0.3
0.7
1.1
0.995
0.955
0.765
0.454
-0.040
-0.190
-0.311
—0」50
-0.021
0.029
等距离向后插值多项式（r<
N3（x）=7V（1.1+0.40
0.454+
2!
心+1）+
3!
l.l+0.4r=0.8,t=-~
M（0.8）=0.454+沁
（二）+沖
（二）丄+壘
（二）耳“.688
444
4.
于（乞）
一阶
二解
三阶
四解
16
2
46
30
7
88
42
6
-1/3
-88
-65
-71/3
-35/6
^4（x）=0+16（x-0）+7x（x-l）--xU-l）U-2）-—x（x-l）（x-2）（x-3）36
R4（兀）=
5!
x（x一1）（%一2）（%一3）（%一4）
10.厶⑴1）°
—2）_3（兀+1）（兀—2）+4（x+l）Cr-1）
・（-2）-（-3）2-（-1）3-1
尺2（X）=
（x+1）（兀—1）（兀—2）
14.7100=10,7121=11,7144=12
线性插值:
厶⑴=
x-121
100-121
x—100]]
121-100
皿⑸*囂;
訓*阳細韦咲和=讪429
二次插值：
=（—121）（—144）I。
|（%-100）（%-144）11|（x-100）（—121）丄
―A-（100-121）（100-144）（121-100）（121-144）（144-100）（144-121）
（144-100）（144-121严
—（115—121）（115—144）“（115—100）（115—144）「（115-100）（115-121）
（115）=10+-11+
1（100-121）（100-144）（121-100）（121-144）
二凹旦10+些竺11+耳12七72276
21-4421・（—23）44-23
2.已知/（x）=8F+7p+2疋+9,则于[1,2,3,4,5,6,7,&
9,10]=（D）
A.8
B.7
C.2
D.0
3.已^/（x）=6x4+5x2+2x+1,则兒4,5,6,7,8]=（A）
A.6
B.5
D.
利用性质/%吗心,…，心譽
4.设/
（1）=0,/⑵=4,/⑶=16,则/[1,2]=—,/[1,2,3]=
5.已知/（l）=1J
（2）=4J（3）=2,则f（x）的分段线性插值函数为/（l）=l,/
（2）=4,/（3）=2o
^•1+口4=3兀-2,xw（l,2）
1-22-1
X—3x—2
〔2-33-2
—4+——2=—2x+&
xw（2,3）
第六章
1.巴22：
3,4,6,9,13,19,22编写相关算法的程序。
2.试用法方程方法求y=严在［0,1］上的一次最佳平方逼近多项式。
°
（）—4—fcxdx—1
［答案：
法方程为：
］
2）,a.=0.873,a.=1.609,（p（x）=0.873+1.609x]
3•试用Legendre多项式构造/在［-1,1］上的二次最佳平方逼近多项式。
X
-2
y
方程组
111
xq（）+Jxdxxd]+jx2Jxx6f2=^x4dx
-1-1・1
xdxxa｛）+J/dxxd]+^dxxa2=jxxx4Jx
-1-1-1
\dx
1）11
^x1dxxa（）+Jx3dxxax+^xAdxxtz2=jx2xxAdx、-1-i
35
Xd]+
解得：
s；
o）=》
3.已知函数表为
X2
试用y=C°
+y+C2〒按最小二乘原理拟合两数.
11111
，厂
y（）
yi
y2
儿
，以xA得到系数矩阵,
屮汀得到右边的矩阵
「5
10]网
r<
10
0C]
=0,
34」h
|_2
4.求y=arctanx在10,1］上的一次最佳平方逼近多项式。
583
x
357
［答案:
正则方程为（］
1711f
ao+~a\=T_~ln2
—Cl（｝dCt｝
[2031
711…
4?
/,a0=0.0429,a.=0.7918,（p（x）=0.0429+0.7918兀]
_711
~7~2
5.推导下列矩形求积公式:
将/（兀）在兀=仝辿处taylor展开，得
、£
/d+b\a+b、1…xzci+b、2r7.
f（x）=f（丁）+/（〒）（x—-）+-/（7）U一一）■，“WS,6・
6.给出下而数据表
打⑴心（"
/（罗）+八罗）弘-
=（b・Q）/（°
严）+］厂
ci+b
）dx
求一多项式曲线,使其拟合给定的这组数据.（艾实就是最小1乘法的拟介）7•证明是实值函数||/（x）||=[ff\x）dxY是定义在C[a,b]上的范数。
证明思路：
非负性、齐次性、三角不等式
第七、八章
1.鬥56：
1,2,4,7,102.役5：
1,2
3・用二点公式和五点公式求心需在“Eg处的导数值，并估计误差"
）的值由表给出.
1.0
1.2
1.3
1.4
0.2500
0.2668
0.2066
0.1890
0.1736
三点公式：
厂（兀°
）=亠（-3/（兀°
）+4/（西）-/也））
2/?
＜厂3禺（/（兀2）-他））
2h
fXx2）=^r（/（x0）-4/（x,）+3/（x2））
五点公式:
广（兀0）=丄（-25/（x0）+48/（x1）-36/（x2）+16/（x3）-3/（x4））
12/2
f©
）=丄（-3/（%0）-10/（%,）+18/（x2）-6/（x3）+/（x4））
12/7
“厂也）・；
（/（心）一巧3）+8/（兀2）+8/也）-/（兀））
12/?
•厂区）（-/Uo）+6/（x1）-18/（x2）+1O/（x3）+3/（x4））
/，<
x4）=^7（3/（x0）-16/（xi）4-36/（x2）-16/（x3）4-3/（x4））12/?
4•求积公式打（兀）必弓（*）+”
（1）的代数精度为多少？
/⑴=1,兀,0寸』/⑴dxQ扌/（*）+£
/⑴精确成立WU）=x3时,f/（x）t/x«
-/（-）+丄/⑴不精确成立，所以具冇2阶代数精度
』）'
434
5•若f（兀）>
0,证明用梯形公式计算积分f/（A-Wx所得到的数值计算结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：
采用梯形公式计算积分时，余项为
Rr=_[丫）（b_d）3,〃w[a,b]
又f\x）>
0^b>
a
:
.Rr<
0
乂•・*=/-T
.I<
T
即计算值比准确值大。
6.设/（兀）在[a,b]二阶连续可导，使推导下面求积公式，
f/（X）d"
譬[/（G）+/（b）]+l（ld）2[f（d）_f（b）]
儿24
并证明余项如下
R[f]=^b-a）3f^）^e（a9b）
O
/（x）在兀=。
点处用泰勒公式展开：
/（x）=/（«
）+f⑷（兀-a）+f（巾）（兀-a）?
两边同时在［d,b］上积分
I1
j/（x）t/xu（b-a）f（a）+-f'
（a）（b-«
）2+-f"
（q）（b-a）3
a
/（x）在x=b点处用泰勒公式展开：
/（x）=/（/?
）+/（/?
）（%-/?
）+f（〃2）（兀-"
）2，两边同时在［d,b］上积分
”11
J7（X）d"
（b—G）/的-亍f的@-0）2+&
八仏）（b-0）3
HH
相加除以2,得|7⑴d“¥
［/（d）+/e）］+扣一。
）"
（。
）一/'
的］+如一。
）％八"
叮八"
叫
跖2462
由于/⑴二阶导连续，所以余项为：
R［f］=y（b-a）3f^）^e（a,b）
第九章
1.出05：
1,2,3,6,10,12,14,15编写相关算法的程序。
2.用改进欧拉法求解处初值问题，要求取步长h二0.5,计算结果保留6位小数。
>
;
=l-^r,0<
<
1+八
丿（0）=0
h
改进的欧拉法:
汕=〉；
+尹（s）+m-九）］,/叫=）迁0.
J'
o=丁（兀0），/=0,1,2,---,/?
y=x-y+l,
3.对初值问题［y（o）=i,，取步长"
0」，用四阶龙格-库塔法求y（0・2）的近似值，并与准确解尸兀+―.
在f=0.2的值进行比较。
yi+i=x+三（山+2*2+2心+他）
k严/（£
』）
去2=f（xi+£
，刀+与kJ，其中兀严0,几二1,/|=0.1
ZZ
k3=/（£
+£
』+£
&
）
*4=/（£
+"
，必+hkj
2~
0（兀）=—（2兀+5）亍,maxI（pf（x）1=0.94<
1,所以收敛。
32SM3
函数对定义域封闭，并H•—阶导数在定义域内均小于1,收敛；
否则发散
第三章
1-£
（）（）：
6,8,9,10
（1）
（2）；
11
（1）
（2）
2.x=2，则IIxH|=_6_,IIx11-）=_V14,II兀11==3
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