初三数学教案北师版初三数学圆 精品Word文件下载.docx

初三数学教案北师版初三数学圆 精品Word文件下载.docx

《初三数学教案北师版初三数学圆 精品Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学教案北师版初三数学圆 精品Word文件下载.docx（71页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

车轮为什么做成圆形．

Ⅱ．讲授新课[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的?

[生]圆形．

[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢?

能否做成长方形或正方形?

老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点?

大家讨论．

讨论如下图：

[生]圆形车轮行进时，较平稳；

方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……

[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．

下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看几，图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系?

用什么方法可以判断，大家动手做一做．

[生]……

[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么?

[生]OA=OB．

[师）刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系?

[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．

[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．

下面我们再看一个游戏队形．

一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．

这样的队形对每个人都公平吗?

你认为他们应当排成什么样的队形?

[生甲]排成方形的．

[生乙]你的说法不对，排成方形的，顶点处的同学还是吃亏，我觉得应当竖着排成一行．

[生丙]我觉得今天学的是圆，应当排成圆形或圆弧形较合适．

[师]大家讨论得很好，每个人都说出了各自的想法．就这个问题，如果单纯从队形来

考虑，排成圆形或圆弧形比较公平．因为每个同学离要投的目标一样远近．这样我们就得到了圆的定义：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（circle）．其中，定点称为圆心（centreofacircle），定长称为半径（radius）的长（通常也称为半径）．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．

注意：

确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；

圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；

只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆

才被唯一确定．

巩固练习：

课本P85随堂练习！

1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗?

答：

将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所希望的圆．

接下来我们研究点和圆的位置关系．

[师]请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分?

互相讨论一下．

[生甲]两部分，圆的内部和外部．

[生乙]三部分，还有一部分在圆上．

[师]同学们讨论得很好．一个圆应该将平面分成三部分：

圆的内部、圆、圆的外部．

[师]下面我们看书PH，想一想，图3—3．由图可以看出A、C在⊙O内，点B在⊙O上，点D、E在⊙O外，如果我们把这个靶看成一个以门为圆心．以r为半径的圆．飞镖落的位置看成点，那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况：

点在圆内、点在圆上、点在圆外．

若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．

点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；

反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．

2．做一做

设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形．

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．

（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．

提示：

解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆、圆的内部、外部的含义．向学生渗透一种常用的数学方法——交集法．

注意

（2）的图形不包括重叠部分的边界．可先让学生思考：

满足条件的点分别与OA、OB有怎样的位置关系?

解：

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的交点C、D

（2）到点A、B距离都小于2cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分（不包括公共部分的两条弧）．

Ⅲ．课时小结

[师]通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会．

[生]我们知道了马轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件．

[生]找还学会了如何确定点和圆的三种位置关系．

……

Ⅳ．课后作业

课本P86，习题3．1，1～4题

Ⅴ．活动与探究

已知⊙O的半径为10cm，圆心O至直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点．并且有AD＝10cm，BD＝8cm，CD＝6cm，分别指出点A、B、C和⊙O的位置关系．

[过程]让学生画出图形，数形结合，根据勾股定理，分别求得OA=

cm，OB＝10cm，OC＝

再分别比较OA、OB、OC与半径的大小即可．

[结果]A点在⊙O外，B点在⊙O上，C点在⊙O内．

板书设计

一、圆的定义：

圆心：

半径：

圆的表示法；

二、点和圆的位置关系：

1．点在圆外，即d>

r

2．点在圆上，即d＝r

3．点在圆内，即d≥r

三、做一做

四、小结

五、作业

3．2圆的对称性

2课时

圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．

本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．

本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．

第二课时

课题

3．2．1圆的对称性

（一）

教学目标

1．圆的轴对称性．

2．垂径定理及其逆定理．

3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的

计算和证明．

（二）能力训练要求

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过

程，进一步体会和理解研究几何图形的各种

方法．

2．培养学生独立探索，相互合作交流的

精神．

（三）情感与价值观要求

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

垂径定理及其逆定理．

垂径定理及其逆定理的证明．

指导探索和自主探索相结合．

投影片两张：

第一张：

做一做（记作§

3．2．1A）

第二张：

想一想（记作§

3．2．1B）

I．创设问题情境，引入新课，

[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?

，

[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。

直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?

[生]折叠．

[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．

Ⅱ．讲授新课

[师]同学们想一想：

圆是轴对称图形吗?

如果是，它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴?

[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．

[师]是吗?

你是用什么方法解决上述问题的?

大家互相讨论一下．

[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

[师]很好．

教师板书：

圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．

1．圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）．

2．弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）．

3．直径：

经过圆心的弦叫直径（diameter）．

如右图。

以A、B为端点的弧记作AB，

渎作“圆弧AB”或“弧AB”；

线段AB是

⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

1．弧包括优弧（majorarc）和劣弧（minorare），大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：

优弧ACD（记作ACD），劣弧ABD（记作AD）．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；

半圆既不是劣弧，也不是优弧．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

下面我们一起来做一做：

（出示投影片§

3．2．1A）按下面的步骤做一做：

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点

A，过点A作CD折痕

的垂线，得到新的折

痕，其中，点M是两

条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕

与圆交于另一点B，如上图

[师]老师和大家一起动手．

（教师叙述步骤，师生共同操作）

[师]通过第一步，我们可以得到什么?

[生齐声]可以知道：

圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．

[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?

[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

[师]为什么呢?

[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合．

[师]还可以怎么说呢?

能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?

[师生共析]如右图

示，连接OA、OB得到等

腰△OAB，即OA＝OB．因

CD⊥AB，故△OAM与△OBM

都是Rt△，又OM为公共边，

所以两个直角三角形全等，

则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B

重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?

[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：

①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

下面，我们一起看一下定理的证明：

（教师边板书，边叙述）

如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∵OA=OB，OM＝OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

∴AM＝BM．

∴点A和点墨关于CD对称．

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，

弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.

∴∴AC=∴BC,弧AD与弧BD重合

[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：

一条直线若满足：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦，那么可推出：

①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：

如图3—7，在⊙O中，

AM=BM，

CD是直径

弧AD=弧BD，

CD⊥AB于M

AC=弧BC.

下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：

[例1]如右图所示，

一条公路的转弯处是一

段圆弧（即图中弧CD，

点O是弧CD的圆心），

其中CD=600m，E为弧

CD上一点，且OE⊥CD，

垂足为F，EF=90m．求

这段弯路的半径．

[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝

CD＝300cm，OF＝OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解?

[生]连结OC，设弯路的半径为Rm，则

OF＝（R-90）m，∵OE⊥CD，

∴CF＝CD=×

600＝300（m）．

据勾股定理，得

OC2＝CF2+OF2，

即R2＝3002+（R-90）2．

解这个方程，得R＝545．

∴这段弯路的半径为545m．

[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．

随堂练习：

P92．1．略

下面我们来想一想（出示投影片§

如下图示，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

[师]右图是轴对称图形吗?

如果是，其对称轴是什么?

[生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．

[师]很好，你是用什么方法验证上述结论的?

大家互相交流讨论一下，你还有什么发现?

[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

[师]大家想想还有别的方法吗?

[生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．

[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论?

[生]平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”?

[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．

[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．

[师]同学们，你能写出它的证明过程吗?

[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．

在等腰△OAB中，∵AM＝MB，

∴CD⊥AB（等腰三角形的三线合一）．

∵⊙O关于直径CD对称．

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．

∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

[师]接下来，做随堂练习：

P92

2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗?

为什么?

相等．

理由：

如右图示，过

圆心O作垂直于弦的直

径EF，由垂径定理设弧AF

=弧BF，弧CF=弧DF，用等

量减等量差相等，得弧AF-

弧CF=弧BF-弧DF，即弧

AC=弧BD，故结论成立．

符合条件的图形有三种情况：

（1）圆心在平行弦外，

（2）在其中一条线弦上，（3）在平行弦内，但理由相同．

1．本节课我们探索了圆的对称性．

2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．

3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

（一）课本P93，习题3．2，1、2

（二）1．预习内容：

P94～97

2．预习提纲：

（1）圆是中心对称图形．

（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

1．银川市某居民区

一处圆形下水管道破

裂，修理人员准备更换

一段新管道．如图所示，

污水水面宽度为60cm，

水面至管道顶部距离为

10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．

[结果]

如右图示，连结

OA，过O作OE⊥AB，

垂足为E，交圆于F，

则AE=

AB=30

cm．令⊙O的半径为

R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．

一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径．

二、与圆有关的概念：

1．圆弧

2．弦

3．直径

弧包括优弧、劣弧、半圆．

三、垂径定理：

垂直干弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

例1：

略

四、垂径定理逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

弦不是直径．

五、课堂练习

六、课时小结

七、课后作业

备课资料

参考练习

1．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．求⊙O的半径．

答案：

4cm或2cm．

2．⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB＝12cm，CD=16cm．则AB和CD的距离为…………………………………（）

A．2cmB．14cmC.2cm或14cmD．10cm或20cm

C

第三课时

3．2．2圆的对称性

（二）

（一）教学知识点

（二）

1．圆的旋转不变性．

2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

圆心角、弧、弦之间关系定理．

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

投影片两张

3．2．2A）

举反例图（记作§

3．2．2B）

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?

哪位同学知道?

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗?

下面我们继续来探讨．

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

[生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?

[生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：

圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

[师]我们一起来做一做．（出示投影片§

3．2．2A）

按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′（如下图示），圆心固定．

注意：

在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?

同学们互相交流一下，说一说你的理由．

[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．

[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′．

[生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′．

[生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′．

[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．

[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重