数值分析实验3Word下载.docx
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-1/4-1/2
-1/4A=
（1）选取不同的初始向量x（0）和不同的方程组右端项向量b，给定迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？
若收敛；
记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；
（2）取定右端向量b和初始向量x（0），将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用Jacobi迭代法计算，要求迭代误差满足||x（k1）-x（k）||L：
10°
。
比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
（1）1.选取初始向量为x（0）=zeros（20,1），右端向量
b=ones（20,1）,eps=1.0e-5；
①实验程序（Jacobi迭代法）
function[x,n]=jacobi（A,b,xO,eps,M）
%A为方程组得系数矩阵
%b为方程组得右端项
%x0为初始向量
%eps为精度要求
%册最大迭代次数
%x为方程组的解
%n为迭代次数
eps=1.0e-5;
%精度要求
M=200;
%最大迭代次数
A=zeros（20,20）;
fori=1:
1:
20
A（i,i）=3;
end
forj=1:
ifabs（i-j）==1
A（i,j）=-1/2;
ifabs（i-j）==2
A（i,j）=-1/4;
b=ones（20,1）;
x0=zeros（20,1）;
D=diag（diag（A））;
%取A的对角阵
L=-tril（A,-1）;
%取A的下三角阵
U=-triu（A,1）;
%取A的上三角阵
B=D\（L+U）;
f=D\b;
x=B*xO+f;
n=1;
disp（['
第’,num2str（n）,'
步求解结果为：
’]）;
disp（x）;
whilenorm（x-x0）>
=eps
x0=x;
x=B*x0+f;
n=n+1;
disp（['
if（n>
=M）
disp（'
Warning:
迭代次数太多
return;
disp（'
最终结果为：
’）；
x='
）;
n='
num2str（n）]）;
实验结果
x=
0.4816
0.5734
0.6328
0.6521
0.6609
0.6643
0.6657
0.6663
0.6665
0.6666
n=18
可能不收敛r）;
②实验程序（Gauss-Seide迭代法）
function[x,n]=gauseidel（A,b,x0,eps,M）
%x0为迭代初始向量
Warning:
迭代次数太多，可能不收敛r）;
2.选取初始向量为x（0）=zeros（20,1）,
右端向量b=1.001*ones（20,1）,eps=1.0e-5
修改：
b=1.001*ones（20,1）,其余同上
0.4821
0.5740
0.6334
0.6528
0.6616
0.6650
0.6664
0.6669
0.6672
同上
（0）
3.选取初始向量为x=ones（20,1）,
右端向量b=ones（20,1）,eps=1.0e-5;
1实验程序（Jacobi迭代法）
x（0）=ones（20,1），b=ones（20,1）,其余同1
n=17
2实验程序（Gauss-Seide迭代法）
0.4816n=17
结果分析：
不管用哪种迭代法，改变初始向量，右端向量，用有限的迭代次数，都能得到收敛结果且满足误差要求。
（2）取定初始向量为x"
°
）=zeros（20,1），
右端向量b=ones（20,1）,eps=1.0e-5
1.A的主对角元素增长为6，用雅克比迭代法:
实验程序
将
（1）1的程序中改为A（i,i）=6;
实验结果最终结果为:
0.1934
0.2103
0.2200
0.2215
0.2221
0.2222
0.1934n=10
2.
12，用雅克比迭代法:
A的主对角元素增长为
0.0892
0.0930
0.0950
0.0952
n=8
3.A的主对角元素增长为
0.0494
0.0506
0.0512
0.0513
n=6
4.A的主对角元素增长为
0.0226
0.0229
0.0230
21，用雅克比迭代法:
45，用雅克比迭代法:
n=5
增大倍数越多，收敛速度越快，但收敛加速度越小。
且最终的解趋
向于0.
心得体会：
通过本次头验，是我加深了对Jacobi迭代法和Gauss—Seidel
迭代法的原理及内在含义的认识、了解和掌握，同时也使我体会到了一些数值计算理论的研究规律，由浅入深，由表及里，由特殊到一般。
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