第十六章多元函数的极限与连续习题课.doc

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第十六章多元函数的极限与连续习题课

一概念叙述题

1.叙述，其中的坐标为．

当时，有

（方形邻域）当，，，有

（圆形邻域）当，有．

2.叙述，，的定义．

．

3.叙述的定义．

4.叙述的定义．

5.叙述的定义．

．

注：

类似写出的定义，其中取，取，取．

6.叙述在点连续的定义．

在点连续，，只要，就有

，，当，，就有

，，当，就有．

7.叙述在上一致连续的定义．

在上一致连续只要，就有

8.叙述在上不一致连续的定义．

在上不一致连续尽管，但有

二疑难问题与注意事项

1.表示空心邻域吗？

答：

不是．只是去掉一点，而是去掉了两条线段，，．

2.的界点是的聚点吗？

答：

不一定，的界点还可能是的孤立点．

3.的聚点一定属于吗？

答：

不一定，例如，，满足的一切点也是的聚点，但它们都不属于．

注的内点，孤立点一定属于，的聚点，界点可能属于，也可能不属于，的外点一定不属于．

4.区域上每一点都是聚点吗？

答区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．

5.，，之间有什么关系？

答：

．

6.用方形邻域证明的思路是什么？

答：

证明怎么证呢？

------关键也是找.

（用方形邻域的思路当，，，有.）

当，有，把化简为下述形式:

（注意一定要出现，）.然后将适当放大，有时先要限定，,估算得,则（最综化简到这个形式）；

，要使，只要，即要，取，于是当，，，有.

7.证明判断二元函数在时二重极限不存在？

答：

1）当动点沿着直线而趋于定点时，若值与有关，则二重极限不存在．

2）令，，与有关，则二重极限不存在．

注意若与无关，则二重极限存在．

3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同．

4）证明两个累次极限存在但不相等．

8.当动点沿着直线而趋于定点时，若值与无关，能说明二重极限存在吗？

答：

不能，因为所谓二元函数存在极限，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数，动点沿着直线而趋于定点这只是一种方式，还有其它方式．

9.计算二元函数极限有哪些方法？

1）利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

例求．

解因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知

．

2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；

例．

解利用变量替换．令，当时，有，因此

．

3）利用极坐标变换．令，，如果沿径向路径关于一致成立，则；

例求．

解利用极坐标变换．令，，当时，有，因此

．

4）利用不等式，使用夹逼准则．

例

解因为，而

因此．

5）初等变形求极限，如极限，凑，．

例

解．

10．重极限与累次极限有什么关系？

答：

（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；

（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；

（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．

（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．

11.二元函数在连续，与一元函数在连续，一元函数在连续有什么关系？

答

反例二元函数在原点处显然不连续．但由

因此在原点处对和对分别都连续．

三典型例题

1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：

（1）的内点集合是，

边界点集合是，

聚点集合是．

没有孤立点．

（2）没有内点，（因为中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；

边界点集合是．聚点集合是，没有孤立点．

（3）没有内点，（因为中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）

边界点集合是，没有聚点，孤立点集合是．

（4）没有内点，聚点是，没有孤立点，界点是．

2．证明．

证：

（）由于，即对，，当时

有，因此有

，

，

即．

（）由于，即对，，当时有，，

从而有

，

即．

3．

（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子．

（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子．

（3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子．

（4）举出两个累次极限都不存在的例子．

解：

（1）例如在点的两个累次极限存在，但不相等．

，．

（2）例如在点的两个累次极限存在，且相等．

，．

（3）例如在点只有一个累次极限存在．

不存在，．

（4）例如在点两个累次极限都不存在．

注两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．

4．试作函数，使当，时

（1）两个累次极限存在而重极限不存在；

（2）两个累次极限不存在而重极限存在；

（3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．

解

（1），两个累次极限存在（见上题），但

，

因为与有关系，因此重极限不存在．

（2），在点两个累次极限都不存在，但重极限存在

．

（3），在点的两个累次极限，重极限都不存在．

（4）或．

变形：

当，时，有，，

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

5.讨论二元函数在点的连续性．

解令，，

当，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知，因此在点连续；

当，由极限值与有关，二重极限不存在，因此在点不连续；

当，由不存在，则二重极限不存在，因此在点不连续．

6．设定义在闭矩形域若对在上处处连续,对在（且关于）为一致连续.证明在上处处连续.

分析：

要证在上处处连续，只要证，在连续，即证，

，当，，就有，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证，，当，，

（因为条件是对在上处处连续,对在（且关于）为一致连续，因此插入.

证明：

因为对在上处处连续，则在连续，于是，，

当，就有.

因为对在（且关于）为一致连续，则有，，当（对任意

就有.

因此，，当，，就有

.

7.设，，且在附近有

，

证明.

分析：

要证，只要证当，，，有.而与有关系，因此就要插入，即证

.

证由得，当，有.

由得，当，有.因为在附近有，于是当，有

.

因此当，有

，

因此.

8.在上一致连续的充要条件是：

对中的每一对点列如果，便有.

证必要性在上一致连续只要，就有

对上述，，因此

即.

充分性反证法，设在上不一致连续尽管，但有

则取总有相应的，虽然，但是

即，，矛盾.因此在上一致连续.