苏科版八年级数学上册全等三角形与轴对称图形的综合应用 提高练习含答案解析Word格式文档下载.docx

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（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：

CD=AC+BD；

（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：

CD=AC-BD；

（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：

CD、AC、BD有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明。

5.综合题。

（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

①∠AEB的度数为________

②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：

________，并证明你的猜想．

（2）拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．

6.如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

AD=BE；

（2）求∠AEB的度数．

7.如图点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s.

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）当t=s时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

8.

（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°

得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是___________；

（2）问题解决:

如图②，在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:

BE+CF＞EF；

（3）问题拓展:

如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°

CB=CD,以C为顶点作∠ECF,使得角的两边分别交AB,AD于E、F两点,连接EF,且EF=BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系,并加以证明.

参考答案

1.【答案】

（1）解：

∵BE平分∠ABC

∴∠ABF=∠CBF又∠BAC=∠ADB

∴∠AFE=∠EDB=∠AEF

∴AE=AF

在△ABF和△ABF中

所以△ABF≌△ABF

AF=FH

∴AE=FH

（2）解：

由

（1）得△ABF≌△ABF

∠AFE=∠EDB=∠AEF=∠BFH

AD∥FH

∴∠FHC=∠ADC

∵EG//BC

∴∠AEG=∠ADC

∴∠FHC=∠AEG；

∠AGE=∠C

在△AEG和△FHC中

∴△AEG≌△FHC

FC=AG=5

∵AC=8

∴FG=2

2.【答案】

（1）60°

；

30°

（2）证明：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）补全图形如下：

由

（1）

（2）得∠CAM=30°

，△ADC≌△BEC，

∴∠CBE=∠CAM=30°

∵∠BMF=90°

∴∠BFM=60°

（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD=30°

又∵AF⊥BC，

∴Rt△BFM中，∠BFM=90°

-30°

=60°

。

3.【答案】

（1）证明：

∵∠BAD=∠CAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

，∠CAD+∠DAE=90°

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

∴△BAC≌△DAE（SAS）

∵∠CAE=90°

，AC=AE，

∴∠E=45°

由

（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°

∴∠CAF=45°

， 

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°

+90°

=135°

（3）证明：

延长BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°

在△AFB和△AFG中，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

∵∠GCA=∠DCA=45°

在△CGA和△CDA中，

∴△CGA≌△CDA（AAS）

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE． 

4.【答案】

如图①，

∵△AOB中，∠AOB=90°

∴∠AOC+∠BOD=90°

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD

如图②，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD

（3）解：

如图③，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

5.【答案】解：

（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠CEB=∠CDA=120°

∴∠AEB=60°

故答案为：

60°

②AD=BE，

证明：

∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，

∠AEB=90°

，AE﹣BE=2CM，

∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，

∴CM=DM=EM=

DE，

∴∠CDA=∠CEB，

∵∠CDA=135°

∴∠AEB=135°

﹣45°

=90°

∴BE=AD，

∴AE﹣AD=DE=2CM，

∴AE﹣BE=2CM．

6.【答案】

∵△ACB和△ECD都是等边三角形，

又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE

在等边△ECD中，

∠CDE=∠CED=60°

∴∠ADC=120°

∴∠BEC=∠ADC=120°

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°

﹣60°

．

7.解：

（1）∠CMQ=60°

∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由条件得AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（2）

秒或

秒

（3）∠CMQ=120°

∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

∴∠PBC=∠ACQ=120°

又由条件得BP=CQ，

∴△PBC≌△ACQ（SAS），

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=180°

-60°

=120°

8.【详解】

（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC与△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

∵AB=5，AC=3，

根据三角形的三边关系得：

AB-AC＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜8，

∵AE=2AD

∴1＜AD＜4，

即：

BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜4，

故答案为1＜AD＜4；

（2）过点B作BG∥AC交FD的延长线于G，连接EG，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，

又∵∠BDG=∠CDF，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴GD=FD，BG=CF，

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF；

（3）∠A+2∠ECF=180°

，理由如下：

延长EB到G，使BG=DF，连接CG，

∵∠D+∠ABC=180°

，∠ABC+∠CBG=180°

∴∠D=∠CBG，

又∵CD=CB，DF=BG，

∴△CDF≌△CBG，

∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，

∵EF=DF+BE，EG=BE+BG，DF=BG，

∴EF=EG，

又∵EC=EC，

∴△CEF≌△CEG，

∴∠ECF=∠ECG，

∵∠BCD=∠DCF+∠BCF，

∴∠BCD=∠BCF+∠BCG=∠FCG=∠ECF+∠ECG=2∠ECF，

∵∠D+∠A+∠ABC+∠BCD=360°

，∠D+∠ABC=180°

∴∠A+∠BCD=180°

∴∠A+2∠ECF=180°

.