高考数学二轮复习第三层级难点自选专题一选填压轴小题命题的4大区域讲义理Word文件下载.docx
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2016
平面与平面平行的性质、异面直线所成的角及等角定理
函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
等比数列通项公式、二次函数的最值及指数函数的性质
线性规划的实际应用
双曲线的定义及标准方程、离心率的计算
函数图象的对称性
推理与论证
导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式
椭圆的离心率、直线斜率的应用
函数的奇偶性、导数的几何意义
点到直线的距离公式，直线的斜率、倾斜角，直线与圆的位置关系
命题区域
（一） 函数与导数
本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y＝f（x）与方程f（x）＝0以及不等式f（x）>
0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：
利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．
分段函数问题
[例1] 已知函数f（x）＝若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________．
[技法演示]
法一：
分段处理，分类讨论
记g（x）＝x3－3x，h（x）＝－2x，同时作出函数g（x）与h（x）的图象，如图所示，则h（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，下面分析g（x）的单调性．因为g′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x变化时，g′（x）和g（x）变化如下：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
g′（x）
＋
－
g（x）
极大值
极小值
下面分析f（x）的单调性，注意到f（x）＝
结合前面g（x）与h（x）的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：
a<
－1≤a＜1
a≥1
①若a<
－1，则f（x）在（－∞，a]上的最大值为f（a），由g（x）在（－∞，－1）上单调递增，f（a）＝g（a）<
g（－1）＝2，而f（x）在（a，＋∞）上无最大值，取值范围是（－∞，－2a），由于－2a>
2，此时函数f（x）无最大值，符合题意．
②若－1≤a<
1，则f（x）在（－∞，a]上的最大值为f（－1）＝2，且当x>
a时，f（x）＝h（x）<
h（a）≤h（－1）＝2，则当x＝－1时，f（x）取得最大值，不符合题意．
③若a≥1，由g（x）的单调性可得，f（x）在（－∞，a]上的最大值为f（－1）或f（a），令M＝max{f（－1），f（a）}，则有M≥f（－1）＝2，而当x>
h（a）≤h
（1）＝－2，则f（x）有最大值M，不符合题意．
综上，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（－∞，－1）．
法二：
整体考虑，正难则反
记g（x）＝x3－3x，h（x）＝－2x，由解法一知h（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且当x变化时，g′（x）和g（x）变化如下：
由于h（x）在（a，＋∞）上单调递减，无最大值，若f（x）有最大值，也只可能在x＝－1或x＝a处取得，同时作出函数g（x）与h（x）的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是（－1,2），（0,0）和（1，－2）．注意到g（－1）＝h（－1）＝2，由图象可见，若f（x）在x＝－1处取得最大值，实数a的取值范围是[－1,2]，若f（x）在x＝a处取得最大值，实数a的取值范围是[2，＋∞）．综上，若f（x）有最大值，则实数a的取值范围是[－1，＋∞），从而，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（－∞，－1）．
法三：
平移直线x＝a，直接秒杀
根据题意，将函数f（x）＝采用分离的方式，记g（x）＝x3－3x，h（x）＝－2x，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g（x）与h（x）的图象，将直线x＝a在图象中沿着x轴左右平移，观察直线x＝a与函数g（x），h（x）的图象的交点（曲线点实，直线点虚）变化，如图所示，当直线x＝a在直线x＝－1左边时满足条件“f（x）无最大值”，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）．
[答案] （－∞，－1）
[系统归纳]
“三招”破解分段函数最值问题
分类讨论
研究分段函数f（x）的单调性，大多借助分类讨论f（x）在各个分段上的最值．如解法一是根据g（x）的单调性，对a进行分类讨论
整体思想
从函数的整体性质（单调性、奇偶性和周期性）出发，研究函数的最值问题．当一个问题从正面不好入手时，也可从反面思考．如解法二就采取正难则反的方法解题
数形结合
“以形助数”，作出函数或变形后的函数图象，结合条件求解问题，解法三是利用数形结合的思想直观得到结果
[应用体验]
1．若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4D．－4或8
解析：
选D 当a≥2时，
f（x）＝
如图1可知，f（x）min＝f＝－1＝3，可得a＝8；
当a<
2时，f（x）＝
如图2可知，
f（x）min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.
函数的含参零点问题
[例2] 已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（ ）
A．（2，＋∞） B．（－∞，－2）
C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）
分类讨论，各个击破
分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．
由已知得a≠0，f′（x）＝3ax2－6x，
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝.
当a>
0时，x∈（－∞，0），f′（x）>
0；
x∈，f′（x）<
x∈，f′（x）>
0.
所以函数f（x）在（－∞，0）和上单调递增，
在上单调递减，且f（0）＝1>
0，
故f（x）有小于零的零点，不符合题意．
0时，x∈，f′（x）<
x∈（0，＋∞），f′（x）<
所以函数f（x）在和（0，＋∞）上单调递减，在上单调递增，
所以要使f（x）有唯一的零点x0，且x0>
只需f>
0，即a2>
4，解得a<
－2.
数形结合，曲曲与共
函数f（x）的零点，亦即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．
令f（x）＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g（x）＝ax3的图象与h（x）＝3x2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．
当a＝0时，函数g（x）的图象与h（x）的图象存在两个的交点；
0时，如图
（1）所示，不合题意；
0时，由图
（2）知，可先求出函数g（x）＝ax3与h（x）＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由g′（x）＝h′（x），g（x）＝h（x），得a＝－2.由图象可知当a<
－2时，满足题意．
参变分离，演绎高效
参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．
易知x≠0，令f（x）＝0，则a＝－，记g（x）＝－，g′（x）＝－＋＝，可知g（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在（－1,0）和（0,1）上单调递增，且g（－1）＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<
[答案] B
“三招”破解含参零点问题
带参讨论
若无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时应根据题设要求合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．利用该策略求解时一般要求我们明确讨论的标准，必须做到不重不漏．如解法一中就要考虑到a的正负对根“0”与“”大小的影响
由两个基本初等函数组合而得的函数f（x）＝g（x）－h（x）的零点个数，等价于方程g（x）－h（x）＝0的解的个数，亦即g（x）＝h（x）的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g（x）与y＝h（x）的图象的交点个数
参变分离
通过将原函数中的参变量进行分离后变形成g（x）＝l（a），则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l（a）和函数g（x）的图象的交点问题
2．已知函数f（x）＝|x2＋3x|（x∈R）．若方程f（x）－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
画出函数f（x）＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令g（x）＝a|x－1|，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有4个不同的交点，显然a>
0.联立消去y，得x2＋（3－a）x＋a＝0，
由Δ>
0，解得a<
1或a>
9；
联立消去y，得x2＋（3＋a）x－a＝0，由Δ>
0，解得a>
－1或a<
－9.
综上，实数a的取值范围为（0,1）∪（9，＋∞）．
易知a>
0，且x＝1不是方程的根．
故有a＝
＝x－1＋＋5.
设h（x）＝，
则问题等价于曲线y＝h（x）与直线y＝a有4个不同交点．作出图象如图所示．
显然y＝9，y＝1是y＝h（x）的两条切线，此时都只有3个交点．
于是，结合图形知，当0<
9时，
直线y＝a与曲线y＝h（x）均有4个交点．
所以a的取值范围为（0,1）∪（9，＋∞）．
答案：
（0,1）∪（9，＋∞）
抽象函数问题
[例3] 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>
0时，xf′（x）－f（x）<
0，则使得f（x）>
0成立的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（0,1） B．（－1,0）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1）∪（－1,0）D．（0,1）∪（1，＋∞）
构造抽象函数法
观察xf′（x）－f（x）<
0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F（x）＝.因为f（x）是奇函数，故F（x）是偶函数，F′（x）＝，易知当x>
0时，F′（x）<
0，所以函数F（x）在（0，＋∞）上单调递减．又f（－1）＝0，则f
（1）＝0，于是F（－1）＝F
（1）＝0，f（x）＝xF（x），解不等式f（x）>
0，即找到x与F（x）的符号相同的区间，易知当x∈（－∞，－1）∪（0,1）时，f（x）>
0，故选A.
构造具体函数法
题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f（x）是多项式函数，因为f（x）是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f
（1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）能被x2－1整除．因此可取f（x）＝x－x3，检验知f（x）满足题设条件．解不等式f（x）>
0，得x∈（－∞，－1）∪（0,1），故选A.
[答案] A
1．利用和差函数求导法则构造函数
（1）对于不等式f′（x）＋g′（x）>
0（或<
0），构造函数F（x）＝f（x）＋g（x）；
（2）对于不等式f′（x）－g′（x）>
0），构造函数F（x）＝f（x）－g（x）；
特别地，对于不等式f′（x）>
k（或<
k）（k≠0），构造函数F（x）＝f（x）－kx.
2．利用积商函数求导法则构造函数
（1）对于不等式f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>
0），构造函数F（x）＝f（x）g（x）；
（2）对于不等式f′（x）g（x）－f（x）g′（x）>
0），构造函数F（x）＝（g（x）≠0）；
（3）对于不等式xf′（x）＋f（x）>
0），构造函数F（x）＝xf（x）；
（4）对于不等式xf′（x）－f（x）>
0），构造函数F（x）＝（x≠0）；
（5）对于不等式xf′（x）－nf（x）>
（6）对于不等式f′（x）＋f（x）>
0），构造函数F（x）＝exf（x）；
（7）对于不等式f′（x）－f（x）>
0），构造函数F（x）＝.
3．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意实数x，有f（x）>
f′（x），且f（x）＋2019为奇函数，则不等式f（x）＋2019ex<
0的解集是（ ）
A．（－∞，0）B．（0，＋∞）
C.D.
选B 设g（x）＝，则g′（x）＝<
0，所以g（x）是R上的减函数，由于f（x）＋2019为奇函数，所以f（0）＝－2019，g（0）＝－2019，因为f（x）＋2019ex<
0⇔<
－2019，即g（x）<
g（0），结合函数的单调性可知不等式f（x）＋2019ex<
0的解集是（0，＋∞），故选B.
命题区域
（二） 三角函数、平面向量
本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；
平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．
三角函数的图象与性质
[例1] 已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）ω>
0，|φ|≤，x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9
C．7D．5
综合法
由f＝0，得－ω＋φ＝kπ（k∈Z），φ＝kπ＋ω，
则f（x）＝sin
＝（n∈Z）．
由f＝±
1，即sin＝sinω＝±
1，
可知ω为正奇数（ω>
0）．
由得
又由于ω>
0，所以k只能取0，－1，－2，－3.
当k＝0时，ω∈（－2,2）；
当k＝－1时，ω∈（2,6）；
当k＝－2时，ω∈（6,10）；
当k＝－3时，ω∈（10,14）．
因为ω是正奇数（不超过12），所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．
当ω＝11时，x∈，ωx＋ω＝11x＋∈，里面含有，则f（x）在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，x∈，ωx＋ω＝9x＋∈，里面不含π（n∈Z）中的任何一个，
即f（x）在上单调，符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
分类讨论
由题意－≤⇒T≥，
即≥⇒0<
ω≤12.①
又由题意可得（n，k∈Z），
所以φ＝＋π（n，k∈Z）．
又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.
（1）当k＋n＝0时，φ＝，ω＝1－4k.②
由①②可得，当k＝－2时，ω＝9，
此时函数f（x）＝sin在上单调递减，符合题意；
当k＝－1时，ω＝5，此时函数f（x）＝sin在上单调递减，符合题意；
当k＝0时，ω＝1，此时f（x）＝sin在上单调递增，符合题意；
（2）当k＋n＝－1时，φ＝－，ω＝－1－4k.③
由①③可得，当k＝－1时，ω＝3，
此时函数f（x）＝sin在上单调递增，符合题意；
当k＝－2时，ω＝7，此时函数f（x）＝sin在上不单调，舍去；
当k＝－3时，ω＝11，此时f（x）＝sin在上不单调，舍去．
综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值．
三角函数图象与性质问题的解题策略
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0，A>
0）的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：
①若函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0）有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋（k∈Z）；
②若函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0）有两个对称中心M（a,0），N（b,0），则有|a－b|＝＋（k∈Z）；
③若函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0）有一条对称轴x＝a，一个对称中心M（b,0），则有|a－b|＝＋（k∈Z）．
（2）研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0）含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．
1．若函数f（x）＝cos2x＋asinx在区间上是减函数，则a的取值范围是________．
导数法
对f（x）＝cos2x＋asinx求导，得f′（x）＝－2sin2x＋acosx．因为f（x）在区间上是减函数，所以f′（x）≤0在上恒成立，即acosx≤2sin2x＝4sinxcosx，而cosx>
0，所以a≤4sinx．在区间上，<
sinx<
1，于是a≤2.
图象法
f（x）＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx＝－22＋＋1，设t＝sinx，由x∈，知t∈.要使g（t）＝－22＋＋1在上是减函数，只要≤即可，所以a∈（－∞，2]．
（－∞，2]
三角形面积最值问题
[例2] 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC的面积的最大值为________．
综合运用正、余弦定理
由正弦定理知（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC可化为（2＋b）（a－b）＝c（c－b），
将a＝2代入整理，得b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，故A＝，
则△ABC的面积S＝bcsinA＝bc.
而b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2⇒bc≤4，
所以S＝bc≤，当且仅当b＝c＝2时取到等号，
故△ABC的面积的最大值为.
正、余弦定理与数形结合
由法一得A＝，可知△ABC的边a＝2为定长，A＝为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A在圆周上的运动轨迹为优弧BC（不包括两个端点B，C），易知当点A位于优弧中点时，此时△ABC的面积最大，由于A＝，则此时的△ABC是等边三角形，面积为.
正、余弦函数的有界性
由法一知A＝，则由正弦定理得，
b＝·
sinB＝sinB，c＝sinC，
则S△ABC＝bcsinA＝bc
＝sinB·
sinC＝·
[cos（B－C）－cos（B＋C）]
＝cos（B－C）＋≤·
＝，
当且仅当cos（B－C）＝1，即B＝C时，△ABC的面积取得最大值.
法四：
函数思想
由法三得S△ABC＝sinB·
sinC＝sinB·
sin－B，令g（B）＝sinB·
sin＝sinBcosB＋sinB＝sin＋.
由0<
B<
，易得g（B）max＝，当且仅当B＝时取等号，所以△ABC的面积的最大值为.
[答案]
三角形面积最值问题的解题策略
（1）借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；
（2）结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；
（3）利用结论：
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a＝m（m>
0），且∠A＝θ，θ∈（0，π），则△ABC的面积的最大值是，当且仅当另外两个角相等时取等号．
2．（2018·
潍坊统一考试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________．
因为＝，
所以＝（2c－b），
由正弦定理得
sinBsinAcosB＝（2sinC－sinB）sinBcosA，
又sinB≠0，所以sinAcosB＝（2sinC－sinB）cosA，
所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，
sin（A＋B）＝2sinCcosA，
即sinC＝2sinCcosA，
又sinC≠0，所以cosA＝，sinA＝，
设外接圆的半径为r，则r＝1，
由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－（2rsinA）2＝b2＋c2－3≥2bc－3（当且仅当b＝c时，等号成立），所以bc≤3，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤.
平面向量数量积问题
[例3] 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°
，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·
的最小值为________．
基底法
选取{，}为一组基底，由题意易求DC＝1，||＝2，||＝1，·
＝2×
1×
cos120°
＝－1，＝＋＝＋λ，＝＋＋＝＋－＝＋.
于是·
＝（＋λ）·
＋＝×
4－1－＋λ＝＋＋≥＋2＝（λ>
0），当且仅当＝，即λ＝时等号成立，故·
的最小值为.
坐标法
以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°
，所以DC＝1，即B（2,0），D，C.
因为＝λ，＝，
所以E，F，
＝，＝.
所以·
＝＋λ＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当＝，即λ＝时等号成立，
故·
[系统归纳]
向量数量积问题的解题策略
基底法
根据平面向量基本定理，结合图形的结构特征选择一组基底，将有关的向量用基底表示，进行求解
坐标法
分析图形的结构特征，建立平面直角坐标系，将所涉及的向量坐标化，利用坐标运算进行解答
3．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·
＝________；
·
的最大值为________．
如图，以射线AB，AD为x轴，
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