整数裂项.doc

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整数裂项

整数裂项基本公式

（1）

（2）

【例1】=_________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是：

瞻前顾后，相互抵消。

设S＝

1×2×3＝1×2×3

2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3

3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……

49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50

3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51

S＝49×50×51÷3＝41650

【答案】

【巩固】________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

，

所以原式

另解：

由于，所以

原式

采用此种方法也可以得到这一结论．

【答案】

【例2】=_________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】设S＝

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2

4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7

7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10

………….

49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52

9S＝49×52×55＋1×4×2

S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572

【答案】

【例3】

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】，所以，

原式

从中还可以看出，

【答案】

【例4】计算：

．

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】可以进行整数裂项．

，

，

，

所以原式

也可适用公式．

原式

而

，

，所以原式．

【答案】

【巩固】计算：

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．

记原式为，再设，

则

，

现在知道与的和了，如果能再求出与的差，那么、的值就都可以求出来了．

所以，．

【答案】

【例5】

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

其中也可以直接根据公式得出

【答案】

【例6】

【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】观察发现，

，……

，

可见，原式

【答案】

【例7】计算：

【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算

【解析】设原式=

【答案】