彩票发行方案的优化设计模型.doc

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

许昌学院

参赛队员（打印并签名）：

1.孙家宣

2.申真

3.徐清洁

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2011年7月12日2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

彩票发行方案的优化设计模型

摘要文通过对题目所给的方案进行分析，建立了彩票问题的优化模型，据此对现行各方案进行了比较和评判，并针对地区经济发展状况设计出了一种‘更好’的方案。

首先介绍了风险决策中的效用理论，对彩民购买彩票的心态进行来看分析，结合模糊数学中隶属函数的概念，也体现了彩民的心理曲线，即效用函数，它反映了彩票对彩民的吸引力，也体现了彩民对待风险的态度和地区的经济发展水平，可作为评价方案合理性的定量指标。

在客观概念尺度下，按照彩民的平均收入水平，对已有的29中方案分别作出判断，结果表明，排在前两位的分别室31选7和32选7。

其次，根据效用理论中存在着主观概率，即人们主观认为事件的发生概率与客观概率有时是不一至的，以及彩票信息在人群中的传播效应，建立了确定“更好”方案的三个优化模型；第一，给予客观概率意义的优化模型；第二，主观概率意义下的优化模型；第三，依据放射性元素的衰减原理，研究了彩票信息在人群中传播的影响效应，建立了信息衰减模型。

由于三个模型都是大规模非线性规划问题，难以直接求解，为此，针对本问题采用了模拟退火算法，运用MATLAB软件编程求解得到了问题的全局最优解，最优解方案均为34选6，但奖金额的设置有所不同。

最后，在分析所得结果的基础上能够，指出了三个模型各自的优缺点。

并根据模型的结果，分别给彩票管理部门和彩民提出了一些参考建议。

关键词：

效用理论、效用函数、收入水平、奖金额

1、问题的重述

常见的彩票销售规则主要有“传统型”和“乐透型”两类。

以“传统型”为例，先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别的号码，构成一组中将号码。

投注者从0~9共10个号码中任选6个基本号码（可以重复），从0~4共5个号码中任选一个特别的号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。

“乐透型”有多种不同的形式，奖金的设置也很灵活。

彩票的返奖比例一般为销售总额的50%，低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为

[（当期销售总额×总奖金比例）-低项奖总额]×单项奖比例

现在的问题是：

（1）评价题目给出的现有29中方案的合理性；

（2）设计一种“更好”的方案，据此给彩票发行部门提出意见；

（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

2、模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

（1）彩民购买彩票是随机独立事件；

（2）彩票的摇奖是公平公正的。

2.2符号说明

A表示彩票方案。

包括抽奖方案和奖金分配方案；

表示第j（j=1,2,3）等奖占高项奖的比例；

表示第i（i=1,2，…，7）等奖奖金额（期望）；

μ（）表示第i（i=1,2，…，7）等奖监禁的效用值（益损值）；

表示第i（i=1,2,…,7）等奖中奖的客观概率；

V（）表示第i（i=1,2,…,7）等奖中奖的主观概率；

U表示彩票的预期效用，表明彩票对彩民的吸引力；

t表示彩民平均年收入。

3、问题的分析

彩民购买彩票属于不确定性条件下的决策行为，现代微观经济学中的预期效用理论（expectedutilitytheory，EUT）为分析这类问题提供了有效的途径。

EUT简单描述是“如果投资者对于不同结果的投资具有不同的偏好，则可以运用效用函数μ（s）来描述这些偏好”；“任何具有一定概率和一定益损值的随机事件，总可以找到一个具有一定益损值的决定事件与此等价”。

如果某个事件有若干个可能的结果，出现的概率分别为（i≥2），则其总体效用为U，即

U=

其中u（s）为效用函数，在这个问题中，它反映了奖金与彩民的满意度之间的关系，即彩民对奖金的心理变化规律，而U则是彩票发行方案对彩民吸引力的表征。

以Ｕ为评价一个方案优劣的定量指标，充分考虑与这一指标相关的因素，建立优化模型，就可以设计出“更好”的方案。

　　彩票的发行包括销售规则的选择、返奖比例的确定及奖项、奖金的设置，这些因素将对彩民的心理都会产生复杂的影响。

ETU的关键在于选择合理的效用曲线，准确刻画奖金收益对对彩民心理的影响作用。

在风险决策中，人们对待风险有三种态度：

风险厌恶型、中间型和喜好型。

对应的效用曲线如图８－１所示。

风险厌恶

B中间型

A

风险喜好

C

效用

货币收益

图8-1效用函数曲线

由心理学知识，人的心理活动一般呈“S”形规律变化。

因为随着奖金收益的增加变化，彩民对待风险的态度由喜好型会转变为厌恶型，所以，在此选择“S”形的效用曲线，如图8-2所示。

A

B

C

彩民的心理效用

彩票的收益

图8-2彩民的心理变化规律

一般认为，经济发达地区的彩民平均年收入较高，承受风险的能力强，更多的关注大奖；而欠发达地区的彩民，却可能更关注中奖率，所以在设计彩票发行方案时，还应考虑当地的经济发展状况和彩民的收入水平。

同时，考虑彩票历史的开奖结果对人们购买彩票的影响，分析历史信息在人群中的传播情况，建立一个考虑历史开奖信息传播因素影响的优化模型，具体论述见模型三。

4、模型的准备

4.1概率计算

将已有方案分为四类，由古典概率方法分别计算各奖项出现的概率，其计算公式如表8-1所示，其具体的计算结果如表8-2。

表8-1各类方案的概率公式

n选m（A）n选m+1（B）10选6+1（C）无特别号（D）

0.0034

0.0339—

——

表8-2现有方案各种奖项出现的概率

方案一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖总中奖率

6+1/100.042039—0.04574

7/290.03734

6+1/290.01480.0197340.03734

7/300.03314

7/310.02921

7/320.02584

7/330.02294

7/340.02044

7/350.01826

0.10657——0.12483

6+1/360.01637

7/360.01637

7/370.03343

6/400.03343

5/600.05081

4.2心理曲线的确定

彩民购买彩票属于风险投资问题，卡亨曼（Kahenmann）和特韦尔斯基（Tversky）研究认为，人们面对获利时表现为风险喜好型、面对损失时表现为风险厌恶型，所以心理曲线应呈“S”形。

哈里·马克维茨（HarryM.arkowitz）进一步指出：

（1）当获利较小时，人们属于风险喜好型，但获利高到一定数额时，人们反而会转变为风险厌恶型。

（2）从风险喜好到风险厌恶的转折点依赖于个人财富的多少。

财富越多就越愿意面对可能的大叔额收益去冒险。

由以上分析可知，彩民的心理变化规律一般如图8-2所示。

A区显示人们面对损失时的风险厌恶心态；B区显示获利较小时，人们表现为风险喜好心态；C区显示当获利到达一定程度时，人们再次表现为风险厌恶。

在数值较小时，可以认为绝对值相等的收益与损失所带来的效用大小相同（一正一负）。

故A段与B段曲线关于原点堆成。

B、C的分界点为曲线拐点，可以由彩民所在地区的人均收入决定。

因为人的心理变化时一个模糊的过程，所以利用模糊数学中的隶属函数的概念进行定量描述。

隶属函数表明人们对待某种事物的偏好程度，如图8-2所示曲线的表达式为

x>0

x<0

μ（x）=

图8-3不同收入水平t下彩民的心理曲线

t=50000

t=40000

t=20000

t=10000

其中σ时待定参数，在该问题中与地区经济发展水平有关。

令，解得，即u（x）的拐点为（）。

参数σ的估计方法如下：

实际中，正常人一生的平均工作时间大约为30年，若他的平均年收入为5万元，那么他一生所能积累的最大财富为30万元，这是对待风险的态度由喜好转变为厌恶的分界点。

因为他不会愿意拿自己一生的积累去冒险。

在此，不妨令，从而作为σ的估计值，其中t=10000.不同收入的彩民的心理曲线如图8-3所示。

4.3（i=1,2,3）与销售额无关的证明

定理8.1