毕业论文《一致收敛判别方法的探讨》.doc

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一致收敛判别方法的探讨

摘要

一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支.一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用.

本文首先简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,然后从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；并利用条件,给出函数列一致条件的定义,研究满足一致条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,给出函数项级数一致条件的定义,研究满足一致条件的函数项级数的一致收敛性.在文献[2]中一些未给出证明的定理,在本文中也将给出简单的证明.

关键词:

函数列；函数项级数；含参量反常积分；一致收敛

InvestigateontheCriterionofUniformConvergence

MathematicsandAppliedMathematics2006-2JiangSu-ping

SupervisorLiangZhi-qing

Abstract

UniformConvergencetheoryisanimportantresearchbranchofmathematicalanalysis.Theunderstandingandjudgingofthisconceptionarethekeyaswellasdifficultpointofmathematicalanalysis.Furthermore,UniformConvergencehasbeenwidelyusedinthesubjectsofFunctionalAnalysisandPartialDifferentialEquations.

ThisarticlewillfirstbrieflyexplaintheFunctionColumn,SeriesofFunctionsandParameterImproperconceptofuniformconvergence.Then,outfromthreeaspects,namelythefunction,thefunctionparametersoftheSeriesandtheinfiniteintegrationwithparameter,itwilllistsomemethodscommonlyusedintheidentificationofUniformConvergencefromwhichsometheoremwillbededuced.IntheresearchofthemethodsofidentifyingUniformConvergence,anotherkindofidentifyingmethodcalledRatiomethodisdeducedthroughbetweendiscriminantmethod.Besides,takingadvantageofLcondition,thispaperwilldefineUniformLconditionanddiscussesConvergenceunderLcondition.Besides,itwilldiscussetheUniformConvergenceoffunctionwhenitsderivedfunctionsareuniformlyboundedundermicro-conditions.IntheresearchofthemethodsofidentifyingUniformConvergenceofSeries,thispaperwillgivethedefinitionofLconditionofUniformConvergenceofSeriesanddiscussesUniformConvergenceofSeriesunderLcondition.Theoremsthathasnotbeenprovedindocument2willalsobebrieflyprovedinthispaper.

Keywords:

functioncolumn;seriesoffunctions;infiniteintegrationwithparameter;

uniformconvergence

目录

0前言 1

1预备知识 2

2一致收敛的判别方法 6

2.1函数列一致收敛的判别方法 6

2.1.1常用方法 6

2.1.2两边夹判别法 10

2.1.3单调判别法 11

2.1.4一致条件判别法 13

2.1.5导数判别法 14

2.1.6点列判别法 15

2.2函数项级数一致收敛的判别方法 16

2.2.1常用方法 16

2.2.2两边夹判别法 20

2.2.3比较判别法 21

2.2.4单调判别法 22

2.2.5一致条件判别法 23

2.2.6导数判别法 24

2.2.7点列判别法 26

2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法 27

2.3.1常用方法 27

2.3.2两边夹判别法 29

2.3.3比较判别法 29

2.3.4单调判别法 31

2.3.5点列判别法 31

结束语 31

致谢 31

参考文献 32

0前言

一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.一致收敛是数学分析教学中的难点之一,尤其是涉及到函数列、函数项级数与含参量反常积分的一致收敛性问题.数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们就需要探讨它们的一致收敛性来作为保证.

目前,已有许多文献对一致收敛进行了研究.如在文献中编者介绍了函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的充要条件；文献对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、运算法则、判别方法等方面做了讨论；文献给出了判别函数列一致收敛性的一种方法,这种方法与Dini定理的区别在于:

Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献介绍了函数项级数中的Dini定理.文献则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.

虽然已有诸多文献对一致收敛进行了研究,但多数只是就某单一方面进行研究.本文试图从函数列、函数项级数以及含参量反常积分一致收敛的判别方法进行探索.在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.

本文可分为两大部分,第一部分简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,同时给出函数列一致条件及函数项级数一致条件.第二部分是本文的主要内容,从函数列、函数项级数以及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；探讨函数列分别在函数列单调及函数单调条件下的一致收敛性；利用条件,给出函数列一致条件的定义,研究满足一致条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性；把函数列所在点集归结为点列来探讨函数列的一致收敛性.而在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini；利用条件,给出函数项级数一致条件的定义,研究满足一致条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在函数列{}可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.在判别含参量反常积分一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法及比较判别法,然后探讨在积分单调的条件下,积分的一致收敛性，之后把含参量反常积分所在点集归结到点列来探讨含参量反常积分的一致收敛性.

1预备知识

在这个部分我们将介绍本文所需要用到的概念及引理.首先我们介绍函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并给出函数列、函数项级数的一致条件的定义.

定义1设

　　　　　　　　　,,…,…　　　　　　　　　　　①

是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.①也可以简单地写作:

｛｝或,

定义2设函数列｛｝与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得时,对一切,都有

则称函数列｛｝在上一致收敛于.

定义3设{}是定义在数集E上的一个函数列,表达式

②

称为定义在上的函数项级数,简记为或.称

=,,

为函数项级数②的部分和函数列.

设函数项级数在上的和函数为,称

=—

为函数项级数的余项.

定义4设{}是函数项级数的部分和函数列.若{}在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.

定义5设函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分

　　　　　　　　　③

都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有

=,

称③式为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.

定义6若含参量反常积分③与函数对任给的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有

即

则称含参量反常积分③在上一致收敛于,或简单地说含参量积分③在上一致收敛.

定义7（函数列的一致条件）若存在常数,使得对于任意两点,,

都有

　.

则称函数在区间上满足一致条件.

定义8（函数项级数的一致条件）若存在常数,使得对于任意两点,,都有

.

则称函数在区间上满足一致条件.　

1.2引理

为了本文的需要,在这部分将把文献中的一些定理作为引理罗列出来.

引理1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列｛｝在数集上一致收敛的充要条件是:

对任给正数,总存在正数,使得当时,对一切,都有

引理2（函数列确界准则）函数列｛｝在区间上一致收敛于的充要条件是:

=0

引理3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为:

对任给的正数,总存在某正整数,使得当时,对一切和一切正整数,都有

或

引理4（函数项级数余项准则）函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是

==0.

引理5（阿贝耳判别法）设

（1）在上一致收敛；

（2）对于每一个,{}是单调的；

（3）{}在上一致有界,即对一切和正整数,存在正数,使得

则级数在I上一致收敛.

引理6（狄利克雷判别法）设

（1）的部分和函数列

在I上一致有界；

（2）对于每一个,{}是单调