数学建模森林救火问题.doc
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扬州工业职业技术学院
森林救火问题的研究
【摘要】：
森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：
救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积每个队员的单位时间灭火费用人数灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.
对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题
【Summary:
theforestfireproblemisanoptimizationproblem,afteranalyses,wedecidedtouseextrememethodandthedefiniteintegralmethodtofindtheareaofforestburned,soastosolvetheproblem,throughananalysisoftheproblem,thatexpression:
Firetotalcost=Unitsforestarealosses×LossareaEveryteammemberthecostperunitoftimefightingnumberextinguishingtime+unitnumberofone-timeexpenditures×participatedinfirefighting,thenumberoffiremen.
Onvariouslevels,theareaofforestlosswasmoredifficulttofind,sowewillwhichseparateconsideration.Inwindyconditions,thespreadrateisincreasingfaster,sothelossofexpressionimagewecanapproximateasafan,becausetheareaisnoteasytofind,soweexpecttheuseofthedefiniteintegralmethodtogetthefinalfan-shapedpatternarea,youcanfindoutthetotalcostofanexpression,changethenumberoffiremen,thenusestheexpressionsextrememethoddiscussedthebest,inordertosolvethisproblem
【关键词】
森林救火优化模型极值问题：
1.问题重述
森林失火了！
消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？
2.问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。
由此看来这就是一个优化问题了。
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。
损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）之间的时间差（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。
救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。
救援费可具体分为两部分：
一部分（f1（x））是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等，这些与队员人数及灭火时间有关；另一部分（f2（x））是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
2.1对f1（x）分析
f1（x）=森林单位面积损失费×损失面积
其中森林单位面积损失费用是固定的，我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。
2.2对ƒ2（x）分析
f2（x）=单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数
单位人数一次性支出也是一定的，人数为待求量。
由此f2（x）表达式的确立并不困难。
综上可知，问题的关键在确定森林损失面积的表达式：
3.符号说明
x：
消防员人数
R为燃烧半径
S：
森林烧毁的面积
：
消防队员平均灭火速度
火在无风状态下的自燃速度
风的速度
a１：
火灾中森林单位面积的损失
a2：
每个队员的单位时间灭火费用
a3：
每个消防员一次性费用
4.模型假设
1）森林损失面积为扇形且角度θ不变
2）风速不变
3）消防员足够多
4）消防员平均救火速度不变
0£t£t1,dS/dt与t成正比，系数+=U
（火势蔓延速度）
5）t1£t£t2,+降为+-x（为队员的平均灭火速度）
n
R
è
火
R-nv
6）f1（x）与R（t2）成正比，系数a１（烧毁单位面积损失费）
7）每个队员的单位时间灭火费用a2,一次性费用a3
5图像分析和模型求解：
根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像；
t1
t2
O
U
t
u
对于面积S（t）的图像我们做出了合理化的假设，图像如下：
S（t）
S（t）
t1
t
O
t2
令D[f[x],x]=0，求出最合理的人数x人。
6.模型求解分析：
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为S（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为S（t2），其导数是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。
从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而S（t）应是时间t的单调非减的函数，即从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即。
开始救火以后，即t=t1时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即t1~t2，并且当t=t2时，火势停止蔓延。
7.模型评价：
8.参考文献；
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