例：
已知，且，求证：
证明：
2.2利用绝对值不等式的性质：
在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明.
例：
已知且，求证：
证明：
所以
2.3利用均值不等式的性质：
若，则.
我们知道任何数的平方都大于或等于0，即，化简得，即任何两个数的平方之和大于或等于他们积的2倍，而在均值不等式中，因为且与同号，所以要满足上述公式，可知，下面我们谈谈其性质
例：
若，，且，求证：
证明：
所以
3
第三章放缩法在不等式中的应用
4
3.1放缩的基本类型
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项
为了往不等式的解靠近，我们在不能直接解题的情况下，我们可以将式子添加（或减去）某些正项或者负项，这样就能使式子放大或缩小.
例：
证明级数收敛.
证明：
当时，有而，所以，，于是，对，只须，当时，根据柯西收敛准则知收敛
3.1.2适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小
在分式中，如果分母不变、分子变大（或变小）则值变大（或变小）；反之，如果分子不变、分母变大（或变小）则值变小（或变大），这是我们在放缩过程中应该掌握的结论.
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例：
已知，求S的整数部分
证明：
由，知道
（1）;
（2）,由
（1）、
（2）知S=165
3.1.3利用基本不等式
放缩是没有固定的方式，这要看情况而选，在选择时重要的还是根据题意所给的条件来决定的，如下是选择利用不等式的性质来进行放缩
例：
已知，求证：
证明：
因为，所以
所以
所以
3.1.4利用函数的单调性
我们已经学习了函数的单调性，知道单调函数具有增减性，而其增减性正相似于放缩法里面的放大或缩小，其实放大就是往右移动，缩小就是往左边移动.
例：
已知各项为正数的数列满足，求证：
证明：
（1）当时，由已知有，于是，所以，因为，所以，即当时不等式成立
（2）假设时不等式成立，即，由已知有，因为，所以在上单调递增，所以，即当时不等式成立，综合
（1）、
（2）知，对时不等式都成立
3.1.5利用二项式定理进行适度地放缩
在不等式的证明中，如果正面不能进行的话，我们要想到作一些相应的变形，使题目变成我们熟悉的公式或恒等式.如二项式定理在不等式证明中的应用
例：
设，且，求证：
证明：
令，则，即证，因，故，所以结论得证，即
3.2放缩的目的
在运用放缩法证明不等式时，我们一定要认真审题，我们应该明白我们应该怎么放缩，这样放的目的是什么，这就是放缩过程中的重要性，如：
3.2.1有利于约分
我们知道放缩法就是放与缩的过程，重要的是我们如何放和缩，使它达到我们要证明的问题，像在分式中，如果式子不能直接化简，我们可以给式子放或缩，使它能够含有公因式这样就可以约去公因式达到化简，明白的说就是让分母不变、分子变大（或变小）使其值变大或变小；反之，让分子不变、分母变大（或变小）使值变小（或变大，）.如下题就是利用分母变小，使值变大的放缩.
例：
证明：
证明：
因为
因此，对，只要，即，取，当时，有，即
所以
3.2.2有利于差分
数学是很讲究技巧的，表面上有些式子是无法求出来的，但是，如果我们
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认真审题，找出题意的本质，我们就会发现它里面蕴含着很大的秘密或技巧，例如，的结果我们可以通分很快就可以算出来，但是，甚至时我们该怎么求呢？
我们知道他们他们各子分数都是可以拆开的，当他们拆开时我们发现中间两项之和刚好等于0，最后只剩下首尾两项.下面我们再看一题
例：
证明数列收敛，其中
证明：
对，取，当时，
所以
3.2.3有利于消元
我们知道解题的过程就是化简，使问题由繁化简，由难化易，当由已知条
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件无法化简时，我们可以给问题进行适度地放缩，使得问题能够化简消元，使问题得以解决.
例:
证明级数的敛散性
证明：
取，则不论取多大，若令，则有，根据柯西收敛准则之知级数发散
3.2.4有利于运用公式
数学里面我们学习了很多数学公式，但是我们应该如何运用这些公式呢，这要具体问题具体分析，我们要认真地审题，题目的意思跟哪个公式比较接近，然后把我们所要求的问题向所需要的公式靠拢，使问题得以解决.
例：
证明：
证明：
对任意的实数，有，即，这就等价于求一元二次方程的解的问题，要满足上述条件，我们知道判别式要小于或等于零，即，化简得，所以结论得证.
第四章如何进行适当地放缩
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运用放缩法证明不等式的确是一种很巧妙的证明方法，但是才能如何做到快速、有效地放缩，即应该放多大，缩多小，这是我们在利用放缩法选择证明不等式时要认真考虑的事情，需要我们在学习过程中进一步地探讨.
例1：
求证：
分析：
由通项，知，可这样放缩显然达不到目的，这里无疑是放得太大了，若由通项，经检验可以达到证明的目的.
证明：
由通项，所以（无穷等比数列），即.
例2:
：
求证：
分析：
由通项
（1）
（2）
（A）由
（1）有，显然放缩过大.
（B）若适当地保留某一项（这里保留一项），得，放缩正确
（C）由
（2）有
，显然放缩过小
（D）若适当地保留某一项（这里保留一项），得
，知放缩正确.
综合上述，联合（B）、（C）得证，即
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参考文献
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[4]罗春宗，巧用放缩法证明不等式[J],南平师专学报,1996
（2）,自然科学报:
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[5]田庆梅，用放缩法证明不等式[J].太原科技，2001（3）:
42-43.
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