经济数学定积分习题及答案Word文档下载推荐.docx
《经济数学定积分习题及答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《经济数学定积分习题及答案Word文档下载推荐.docx(56页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
n,于是第i个
i1ii
n,ni
取小区间的右端点xi为i,即n,则小区间为
f(i)
ien(in
1,2,,n)
i1111nn1n12
Snf(i)xie(e)(en)(en)n
ni1ni1因为
两端取极限,得
1e(e1)n1
en1
1en
1n
limSnlim
1nn
(e1)1
lim
(e1)1n
e1
所以.
2.利用定积分的几何意义,说明下列等式:
cosx4
(2)dx=0
32
(3)
sinxdx02
(4)
cosx
22
dx=2
20
dx
解
(1)因为单位圆xy1在第一象限的方程为
y
所以根据定积分的几何意义知故
x
为单位园在第一象限的面积.
4.
(2)因为当
2时,曲线ycosx在x轴的上方和下方的
曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知,(3)因为当
cosxdx0
.
2时,函数ysinx在x轴上方和下方的曲边梯
形的面积相等,所以根据定积分的几何意义知,
sinxdx0
2,2ycosx上为偶函数,其图形关于y轴对称且(4)因为在
都在x轴的上方,所以根据定积分的几何意义知,
4.将下列极限表示成定积分:
111lim()2n14nnnn
nnn
2cosxdx202cosxdx
1
(2)nn111
214nnnnnnn解
(1)因为
1111
1222n2n
1()1()1()nnn
i1()2
nnn所以
1nni1
1111dx20nin1xi11()2
n.
yn
(2)
令1
lnyln(n1)ln(n2)ln(2n)lnn
n1
ln(n1)ln(n2)ln(2n)nlnn
112nln
(1)ln
(1)ln
(1)nnnnn
ln
(1)
nni1
i11limln
(1)limlnynnn=0ln(1x)dxi1因为n=
limyenlny
ye而,所以n
limlny
ln(1x)dxe0
习题6-2
1.确定下列定积分的符号:
(1)1
xlnxdx
40
1cos4x
dx2
sinxxcosx1
dx|x|dx
(3)0cosxxsinx(4)1
解
(1)因为被积函数f(x)xlnx在[1,2]上连续,且f(x)0,但f(x)不恒等于0,
所以由性质6知,
xlnxdx0.
1cos4x0,f(x)
2
(2)因为被积函数在4上连续,且f(x)0,但f(x)不恒等于0,
4
1cosx4dx0.02所以由性质6知,
sinxxcosxf(x)
cosxxsinx在0,1上连续,且f(x)0,但f(x)不恒等(3)因为被积函数
sinxxcosx
dx0.0cosxxsinx于0,所以由性质6知,
(4)因为被积函数f(x)|x|在[-1,1]上连续,且f(x)0,但f(x)不恒等于0,所以由
性质6知1
2.不计算定积分,比较下列各组定积分值的大小.
(1)0(3)
|x|dx0.
与0
x2dx
x3dx
与
33xdx0
lnxdx
与1
ln2xdx
与3
232
0,1xxx(1x)0,即x2x3解
(1)因为在上,
xdxx3dx.
23
(2)因为在1,3上,xxx(1x)0,即xx
xdxxdx
(3)因为在1,2上,0lnx1,lnxlnxlnx(1lnx)0
即lnxlnx
lnxdxln2xdx.
lnxlnxlnx1lnx0[3,4]1lnx(4)因为在上,,
1sinxdx4
0x2xedx2
3.估计下列积分值:
(1)1(3)
1dx
54
arctanxdx
解
(1)因为被积函数f(x)x1在区间1,4上单调递增,所以在区间1,4上有
2x2117,即1x4
故由定积分的估值定理,得
6
dx5
(2)设被积函数fx1sin2x'
,则由fxsin2x0,得驻点
1,fff为2x22,f1,
.3
且2
42,534
即11sin2
x2
5故由定积分的估值定理,得
1si2
nx
xd2
x(3)设被积函数f(x)
xarctanx,
f'
因为(x)arctaxnx1x2,0则f(x
)在
上单调递增,x
时,fxarctanxf
xarctanx即
9
arctaxnxd
0x2x(4)因为
edx2ex
,设被积函数f(x)e
x2x
,x0,2
x)2x12
令f'
(x0,得驻点为x11e
2,且f
(2)e,f(0)1,
f
(2)e2
,所以当x0,2时,e
14
ex
e22故由定积分的估值定理,得2e
dx2e2
即
2e2
0x2142
exdx2e
4.证明下列不等式:
1
(2)21x6
x证
(1)
0,2
而0cos2
x1
当
1所以
x0,2
2故由定积分的估值定理,得
f
f(x)在0,1上连续,且
(2)令
(x)
122
f(0)f
(1),f()x
'
233,且令f(x)0,得驻点
x[0,1]
11x26
5.求下列极限:
(1)n01
xnex
lim2
(2)n01x
0,11ex,则f(x)在解
(1)设被积函数
(0,1)内,至少存在一点ξ,使得
f(x)
上连续,由积分中值定理知,在区间
xnexne
dx(0,1)01ex1enx1xene
limxlim0n01exn1e故.
xn1
f(x)1,则f(x)在
1x2上连续,由积分中值定理知,在区间
(2)设被积函数
0,2内,至少存在一点ξ,使得
xn2x01xn
()
12
故
6*.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,求证:
(1)若在[a,b]上,f(x)0且a
b
120n
xnn
xlim0
n11x.
f(x)dx
=0,则在[a,b]上,f(x)≡0;
(2)
(2)若在[a,b]上,f(x)g(x)且a
必有f(x)≡g(x)
解
(1)用反证法.
f(x)dxg(x)dx
a
,则在[a,b]上,
若f(x)不恒等于为零,则至少存在一点x0[a,b],使得f(x0)0.
不妨假设f(x0)>0,且x0(a,b),则由f(x)在[a,b]的连续性知,
xx0
limf(x)f(x0)0f(x)
,根据定理2.3得推论2知,在点x0的某个邻域内,就必有
f(x0)02.于是由性质4,得
x0
由此与已知
x01
f(x)dxf(x0)dxf(x0)0
x02
f(x)dx0
矛盾,反证法之假设不成立,即f(x)0.
(2)令F(x)g(x)f(x),则在[a,b]上就必有F(x)0,且
F(x)dx0
由
(1)的结论可知,在[a,b]上就必有F(x)0,即f(x)g(x).
7*.设f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在区间[a,b]上连续且不变号,求证至少存在一点
(a,b),使得af(x)g(x)dxf()ag(x)dx.
证因为f(x)在[a,b]上连续,必有最大值M和最小值m,所以x[a,b],有
mf(x)M.
设g(x)0,则有由定积分的性质5,得
bb
mg(x)f(x)g(x)Mg(x)
mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx
m
于是,有
f(x)g(x)dx
M
g(x)dx
又由介值定理知,在(a,b)内,必存在一点,使得
ag(x)dx
f()
ba
f(x)g(x)dxf()g(x)dx
(a,b).
习题6-3
1.1.已知函数
ysintdt
,求当x=0及
4时,此函数的导数.
解因为
y(sinxdx)'
sinx
所以y'
|x0sinx|x0sin0
y'
|
sinx|
sin
2.2.求由决定的隐函数y(x)对x的导数.解将方程两边对x求导并注意到y为x得函数,得
ytx
edtcostdt00
eyy'
cosx0
'
解出y,得yecosx.
3.3.当x为何值时,极小值?
I(x)tetdt
x2
有极值?
此极值是极大值还是
I'
(x)0,I'
(x)0解由I(x)xe0,得驻点x0,而当x0时,当x0时,
所以,当x0时,I(x)有极值,此极值是极小值I(0)0.
4.4.计算下列导数:
dx3dx2ttx2dx
(1)dx0
d0
(3)2tcost2dtdxx
t(x2)'
2解
(1)dx0
dx3
(2)2tx3)'
(x2)'
dxx
5.5.计算下列定积分:
d***-*****
tcostdtxcosx(x)'
2xcosx.2
dxx
(xt)dx1x
(1)
(2)1(3)(5)
dx(x2a2)
(4)1
3x43x21
5
x23x2dx
(6)
0x1dx|a
(7)
t(t1)dt
(8)
xdx(ab)
x1(x1)
f(x)1
(x1)x
2(9),求
0f(x)dx.
解
(1)
4x372
(xt)dx(4lnxtx)4ln2t
x331
xd()dx11a
(2)0x2a2a01(x)2a
(0).
a33a
1d()1111xarcsin20
20XX年2
(3).
x21
dx(3x2
)dx
x3x2,0x1,或2x5
x23x22
(x3x2),1x2(5)因为被积函数
(x3arctanx)|01
1.
x23x2dx(x23x2)dx(x23x2)dx
51
(x23x2)dx14.
(6)因为在本题中,变量为x且0x1,t为参数,但是可以取任意实数,即本题结果应为t的函数.所以设
当t0时,得
I(t)xtdx
,则
I(t)xtdx(xt)dx
当0t1时,得
t
1t2
I(t)xtdx(tx)dx(xt)dxt2t
当t1时,得
I(t)xtdx(tx)dxt
2t,t0
I(t)t2t,0t1
t2,t1故.
t(t1),t0
t(t1)t(t1),0t1
t(t1),t1(7)因为被积函数,且x为参数可取一切实数,所以应分
下列情况讨论:
x3x2
I(x)t(t1)dt
0x032当时,有
I(x)t(1t)dt
00x132当时,有
当x1时,有
0x
x3x21
323
x032
I(x),0x1
23
x1323故.
(8)令被积函数x0,得x0,按数0在区间a,b的不同位置状况,可分为下列几
种情况:
①当ab0时,得
bb1
Ixdxxdx(b2a2)
aa2
②当a0b时,得
③当0ab时,得
0b1
a02b1
Ixdx(b2a2)
a2
故综上所述,有
I
2(ba),ab01
xdx(b2a2),a0b
2122
2(ba),0ab.
(x1)x2(9)因为
f(x)dx0f(x)dx1f(x)dx0(x1)dx1
所以0
6.6.求下列极限:
1x1x
lim2arctantdtlim(1sin2t)dt
(1)x0x0
(2)x0x0
*****
x28
dx23.
x0
excostdtlimx(4)*x
x2t2
tedt0
1x
(1sin2t)dtlim(1sin2x)1.0x0x0x解
(1)
1xarctanx21lim2arctantdtlimlim
0x0xx0x02(1x2)2x2.
(2)
e
xcost2
dtx0
cost2dtlim4x40.
(4)lim
xex2
x2ex
ex(12x2)
1.
x(12x2)2
2x,x[0,1)
f(x)x
(x)x,x[1,2]0f(t)dt在[0,2]的表达式,并讨论(x)在[0,7*.设,求
2]上的连续性与可导性.
x3
(x)tdt
00x13解因为当时,
当1x2时,
(x)
tdt0
x3tdt1
1x4124
0x13
(x)4
x1,1x2124所以(x)的表达式为
又因为f(x)在区间[0,1)与(1,2]上为初等函数,显然为连续函数.
limf(x)limx1,limf(x)limx1
即limf(x)1
知,f(x)在x1处连续.所以f(x)在区间[0,2]上连续.故由定
由
limf(x)f
(1)1
理6.5知,函数(x)在区间[0,2]上可导.
8*.设f(x)在[a,b]上可积,求证:
当x(a,b)时,(x)=0意可积函数的有界性).
证因为设对任意的x,xx(a,b)时,有
f(t)dt
在[a,b]上连续(提示:
注
(x)(xx)(x)
xx
f(t)dtf(t)dt
xxx
又由f(x)在[a,b]上可积知,存在常数M0,使得f(x)M所以
f(t)dtM
dtMx
limx0,则lim(x)0
x0而x0
故(x)在[a,b]上任意一点x处连续,即(x)在[a,b]上连续.
习题6-4
1.计算下列定积分:
(1sin3x)dx
(2)(4)
t22
0te
dt
(5)
2cosxcos2xdx0
(1sinx)dxdxsin3xdx
dx(1cos2x)dcosx
(xcosxcos3x)
330
(2)1
x令xsint2
costsint
22
dsint
cos2tsint1sint
1sin2tsint
44
dt2dt1
(3)120
1x2
20(3a2x2)1)a.
)
t2
e2
t21
te2dt0
t21t22ed(02