全等三角形复习讲义 无答案Word文档格式.docx

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3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

（以上可以简称:

全等三角形的对应元素相等）

7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）

9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）

运用

1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定

性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：

到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

做题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件

另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。

【知识梳理1】用SAS证明三角形全等

边角边定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例题精讲】

例1：

已知：

如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。

求证：

AE=BD。

例2：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

【知识梳理2】用AASASA证明三角形全等

角边角定理：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

角角边定理：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

例1:

如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.

（1）证明：

△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°

，求EF的长.

【知识梳理3】用SSS证明三角形全等

边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）

如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．

∠ABC=∠DEF

例2：

已知：

AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：

BD=CD

例3：

已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

课堂练习

1.如图，下面图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6乘以6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形：

（1）在图1中画两个格长三角形与△ABC全等且有1个公共点；

（2）在图2中画两个格长三角形与△ABC全等且有1条公共边；

【知识梳理4】用HL证明三角形全等

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL

如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°

，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．

如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：

AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？

若是请给出证明；

若不是，请说明理由．

专题一：

全等三角形的性质

专题概述：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，这为证相等关系提供了依据，但要注意，在应用其性质时，要找准全等三角形中的对应元素.

如图，△ACF≌△DBE，若AD=11，BC=7，求线段AB的长.

变式：

如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°

，∠E=70°

，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（）.

A.60°

B.75°

C.85°

D.90°

专题二：

全等三角形的判定

判定两个三角形全等的方法主要有：

边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）四种方法，以上四种方法对于任意三角形均适用.对于直角三角形，除了上述四种方法外，还有斜边、直角边公理（HL）.

如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB//CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从

（1）中任选一组进行证明.

专题三：

利用三角形全等解决实际问题

解决此类问题建立数学模型是关键.将实际问题转化为数学问题，正确作出几何示意图，运用数学知识来分析和解决.

某校八（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计了如下方案：

①如图

（1），先在平地上取一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，延长BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离.

②如图

（2），先过B点作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离.

阅读后回答下列问题：

（1）方案①是否可行？

理由是什么？

（2）方案②是否可行？

（3）方案②中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？

专题四：

尺规作图与证明

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.

（1）实践与操作：

利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

①作∠DAC的平分线AM；

②连接BE并延长交AM于点F；

（2）猜想与证明：

试猜想AF与BC有怎样的关系，并说明理由.

专题五：

利用全等证平行、相等、垂直关系

例4：

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°

，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为.

例5：

如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？

说明理由．

例6：

如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：

AB//CD.

例7：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=30°

，AD平分∠CAB.

（1）求∠CAD的度数；

（2）延长AC至E点，使CE=AC.求证：

DA=DE.

例8：

在平面内正方形ABD与正方形CEFH如图放置，连接DE、BH，两线交于M点.

（1）BH=DE；

（2）BH⊥DE.

【课堂练习】

1.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）若AB=17，AD=9，求AE的长．

2、已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

3、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

BC=AB+DC。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等D.斜边相等

2．如图1，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（　　）

A．

　　B．

C．△APE≌△APF　　D．

3．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（　　）

A．形状相同　　　B．周长相等　　　C．面积相等　　　D．全等

4．如图3，

，

，下列结论错误的是（　　）

A．△ABE≌△ACD　　B．△ABD≌△ACE　　C．∠DAE=40°

　　D．∠C=30°

5．已知：

如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（　　）

A．5对　　　B．4对　　　C．3对　　　D．2对

6．将一张长方形纸片按如图5所示的方式折叠，

为折痕，则

的度数为（　　）

A．60°

　　　B．75°

　　　C．90°

　　　D．95°

7．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC的是（　　）

A．AB＝3，BC＝4，CA＝8　　　　　　　B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°

C．∠A＝60°

，∠B＝45°

，AB＝4　　　　D．∠C＝90°

，AB＝6

8.如图，

四点共线，

。