中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案docWord格式文档下载.docx
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CD边上的任意一点（不含
C，D两端点），过点
P
作PF∥BC，交对角线
BD于点
F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：
△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'
DF'
，连接P'
C，F'
B．设旋转角为α（0°
＜α＜180°
）．
①若0°
＜α＜∠BDC，即DF'
在∠BDC的内部时，求证：
△DP'
C∽△DF'
B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'
B能否为直角三角形？
如果能，试求出此时tan∠DBF'
的值，如果不能，请说明理由．
（1）证明见解析；
（
2）①证明见解析；
②1或
3.
3
【分析】
（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F∽′△DCB；
②由于△DF'
B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】
（1）由翻折可知：
∠DFP=∠DFQ，
∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）①若0°
＜α＜∠BDC，即DF'
在∠BDC的内部时，
∵∠P′DF∠′=PDF，
∴∠P′DF﹣∠′F′DC=∠PDF﹣∠F′，DC
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：
△DP′F≌′△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′∽F△′DCB
∴DCDP'
，DBDF'
∴△DP'
C∽△DF'
B；
②当∠F′DB=90时°
，如图所示，
∵DF′=DF=BD，
DF'
1
∴，
BD2
∴tan∠DBF′=；
当∠DBF′=90，°
此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意；
当∠DF′B=90时°
∴∠DBF′=30，°
∴tan∠DBF′=.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定
理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°
，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，
设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：
（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；
（2）如图2，若k=3，试问
（1）中的结论是否成立？
若成立，请说明理由；
若不成立，求出∠APE的度数．
（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，
（2）中的结论是否成立，请说明理由．
（1）45°
；
（2）
（1）中结论不成立，理由见解析；
（3）
（2）中结论成立，理
由见解析.
分析：
（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出
△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°
即可得出结论；
，
（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出
△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90，°
（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出
△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90，°
详解：
（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90，°
四边形ADBF是平行四边形，
∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，
∴AF=AC．
∵∠FAC=∠C=90，°
∴△FAE≌△ACD，
∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90，°
∴∠FEA+∠CAD=90=°
∠EHD．
∵AD∥BF，
∴∠EFB=90．°
∵EF=BF，∴∠FBE=45，°
∴∠APE=45．°
（2）
（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴BD=AF，BF=AD．
∵AC=3BD，CD=3AE，
ACCD
∴3．
BDAE
∵BD=AF，
∴AC
3．
AE
∴△FAE∽△ACD，
AC
BF
．
∴
3，
EF
∠FEA=∠ADC
∵∠ADC+∠CAD=90，°
∠EMD．
在Rt△EFB中，tan∠FBE=EF
∴∠FBE=30，°
∴∠APE=30，°
（3）
（2）中结论成立，如图
3，
3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，
∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90，°
四边形EBDH是平行四边形，
∴BE=DH，EH=BD．
∵∠HEA=∠C=90，°
∴△ACD∽△HEA，
ADAC
∴3，∠ADC=∠HAE．
AHEH
∵∠CAD+∠ADC=90，°
∴∠HAE+∠CAD=90，°
∴∠HAD=90．°
在Rt△DAH中，tan∠ADH=AH
∴∠ADH=30，°
∴∠APE=30．°
点睛：
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
4．已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：
△MED∽△BCA；
（2）求证：
△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为
S1
，四边形
17
BCMD的面积为S
，当S=
5
S时，求cos∠ABC的
值．
（2）证明见解析；
（3）cos∠ABC=.
（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°
，从而可证明△MED∽△BCA；
（2）由∠ACB=90°
，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明
∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；
（3）易证MD=2AB，由
（1）可知：
△MED∽△BCA，所以
MD
1，所以
SVACB
4
△MCB=1
△ACB=2S1
△EBD=S2
△MCB﹣S1
=
ME，从而可
S
，从而可求出
﹣S
，由于SVEBD
EB
知ME
ME=5x
EB=2x
AB=14x
BC=
7，最后根据锐角三角函数的
，设
定义即可求出答案．
（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°
∴△MED∽△BCA；
（2）∵∠ACB=90°
，点M是斜边AB的中点，
∴MB=MC=AM，
∴∠MCB=∠MBC，
∵∠DMB=∠MBC，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，
∵∠AMD=180°
∠﹣DMB，
∠CMD=180﹣°
∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180﹣°
∠MBC，
∴∠AMD=∠CMD，
在△AMD与△CMD中，
MDMD
AMDCMD，
AMCM
∴△AMD≌△CMD（SAS）；
（3）∵MD=CM，
∴AM=MC=MD=MB，
∴MD=2AB，
由
（1）可知：
△MED∽△BCA，
1，
SVACB
∴S△ACB=4S1，
∵CM是△ACB的中线，
∴S△MCB=1S△ACB=2S1，
∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，
ME
∵SVEBD
∴2
EB，
5S1
∴ME
设ME=5x，EB=2x，
∴MB=7x，
∴AB=2MB=14x，
MDME1
∵，
ABBC2
∴BC=10x，
BC10x5
∴cos∠ABC=.
AB14x7
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综
合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°
，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与
PD，PD交AB于点G.
△PAC∽△PDF；
（2）若AB＝5，，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出
x的取值范围）
1）证明见解析；
2）
（3）
.
试题分析：
1）应用圆周角定理证明
∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝
∠PDC，即可证明结论
（2）由AC=2BC，设
，应用勾股定理即可求得
BC，AC的长，则由
AC=2BC得
，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由
形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得
可知△APB是等腰直角三角
EF=AE=4，从而求得DF的长，
由
（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.
（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得
，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两
式相乘可得结果.
试题解析：
（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，
又∵∠B＝∠ACE＝90°
－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.
∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.
又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.
（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°
，AB=5，
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC，∴
∵AB⊥CD，∴
如图，连接BP，
，即
.∴
∵，∴△APB是等腰直角三角形.∴∠PAB＝45°
∴△AEF是等腰直角三角形.∴EF=AE=4.∴DF=6.
由
（1）△PAC∽△PDF得，即.
∴PD的长为
（3）如图，连接
BP，BD，AD，
∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即
∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.
∵，∴.
∵△AGP∽△DGB，∴.
∵△AGD∽△PGB，∴.
∴，即.
∴与之间的函数关系式为.
考点：
1.单动点问题；
2.圆周角定理；
3.相似三角形的判定和性质；
4.勾股定理；
5.等腰直
角三角形的判定和性质；
6.垂径定理；
7.锐角三角函数定义；
8.由实际问题列函数关系式.
6．问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线
l
上找一点
C，使AC与BC的距离之和最
小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°
，B为弧AD的中点，P为
直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°
，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
【答案】解：
（1）22．
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．
∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．
则线段B′F的长即为所求（点到直线的距离最短）．
在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450,AB/="
AB="
10，
∴．
∴BE+EF的最小值为【解析】
（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和
MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可
得出PA+PB的最小值：
如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直
径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30，°
∴∠AOD=60，°
∠DOE=30．°
∴∠AOE=90．°
∴∠C′AE=45．°
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90．°
∴∠C′=∠C′AE=45．∴°
C′E=AE=AC′=22．
∴AP+BP的最小值是22．
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．
7．已知：
△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：
AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：
∠ACD=∠APB；
（3）在
（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣
∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．
（3）24.
（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；
（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC=∠BCD，可证∠ACD=∠APB；
（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.
在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI
的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长
度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．
（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；
（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，
∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；
（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180，°
∴2∠AND=180，°
∴∠AND=90，°
∵tan∠ABC=，∴，∴，
∴，∵∠BNQ=∠QHD=90，°
∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90，°
∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，
∴BG=BQ=，GN=NQ=，
∵∠ACI=90，°
tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：
AI=25，
设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，
BH=BQ+QH=
∵OB2=BH2+OH2，∴
，解得：
，当QH=
时，∴QD=
∴ND=，∴MN=
，MD=15,∵
，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=
∴ND=NQ+QD=
ED=
∴GD=GN+ND=,∴EG=ED
GD=
﹣
∵tan∠OED=，∴
∴EG=RG，∴RG=
，∴
BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．
1圆；
2相似三角形；
3三角函数；
4直角三角形.
8．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：
0.6，背水坡坡比为
1：
2，
大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（
634+305+98）米，面积是1470平方米．
先根据两个坡比求出
AE和BF的长，然后利用勾股定理求出
AD和BC，再由大
坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．
∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：
0.6，DE=30m，
∴AE=18米，
在RT△ADE中，AD=DE2
AE2
=6
34米
∵背水坡坡比为1：
∴BF=60米，
在RT△BC
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