《23 二次函数与一元二次方程不等式》教研教案教学设计统编人教A版高中必修第一册Word文档下载推荐.docx

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《23 二次函数与一元二次方程不等式》教研教案教学设计统编人教A版高中必修第一册Word文档下载推荐.docx

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x＋2

与（x－3）（x＋2）>

等价吗？

将

x－3

变形为（x－3）（x＋2）>

0，

有什么好处？

提示：

等价；

好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等

式．

2．

（1）不等式的解集为

（或恒成立）的条件

不等式

a＝0

a≠0

ax2＋bx＋c>

b＝0，c>

⎧⎪a>

ax2＋bx＋c<

b＝0，c<

⎧⎪a<

（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数

y＝ax2＋bx＋c

若

ax2＋bx＋c≤k

恒成立⇔ymax≤k

ax2＋bx＋c≥k

恒成立⇔ymin≥k

3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤

（1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关

系．

（2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）．

（3）解不等式（或求函数最值）．

（4）回扣实际问题．

思考

2：

解一元二次不等式应用题的关键是什么？

解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择

其中起关键作用的未知量为

x，用

来表示其他未知量，根据题意，列出不等关

系再求解．

1．若集合

A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝

⎨x⎪≤0

⎬，则

A∩B

等于（）

⎩⎭

A．{x|－1≤x<

0}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|0≤x<

2}D．{x|0≤x≤1}

B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<

x≤2}，∴A∩B＝{x|0<

x≤1}．]

x＋1

2．不等式

≥5

的解集是________．

⎧⎪

⎪1

⎪⎩

⎪

⎫⎪

⎬

⎪⎭

x＋1

4x－1

⎧x（4x－1）≤0，

⎪⎩x≠0，

x≤4.]

3．不等式

x2＋ax＋4＜0

的解集不是空集，则实数

的取值范围是________．

a＞4

或

a＜－4[∵x2＋ax＋4＜0

的解集不是空集，即不等式

x2＋ax＋4＜0

有解，∴Δ＝a2－4×

1×

4＞0，解得，a＞4

a＜－4.]

4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于

300m2

的内接矩形花园（阴影部分），则其边长

x（单位：

m）的取值范

围是________．

{x|10≤x≤30}[设矩形高为

y，由三角形相似得：

4040

，且

0，y>

40，y<

40，xy≥300，整理得

y＋x＝40，将

y＝40－x

代入

xy≥300，整理得

－40x＋300≤0，解得

10≤x≤30.]

分式不等式的解法

【例

1】解下列不等式：

（1）

x＋2

0；

（2）

2x－3

≤1.

[解]

（1）<

0⇔（x－3）（x＋2）<

0⇔－2<

3，

∴原不等式的解集为{x|－2<

3}．

（2）∵

∴

2x－3

≤0，

x－4

即3≥0.

x－2

⎝2⎭2

解得

3或

x≥4，

⎪3⎫⎪

⎪

⎪⎪⎭

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次

不等式组求解，但要注意分母不为零．

（

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分

不要去分

母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

5x＋1

≥0；

（2）<

[解]

（1）根据商的符号法则，不等式

x－3

≥0

可转化成不等式组

⎧⎪（x＋1）（x－3）≥0，

⎩

⎪x≠3.

解这个不等式组，可得

x≤－1

即知原不等式的解集为{x|x≤－1

（2）不等式

可改写为

－3<

2（x－1）

即<

可将这个不等式转化成

2（x－1）（x＋1）<

解得－1<

所以，原不等式的解集为{x|－1<

1}．

一元二次不等式的应用

2】国家原计划以

400

元/吨的价格收购某种农产品

吨．按规定，

农户向国家纳税为：

每收入

100

元纳税

元（称作税率为

个百分点，即

8%）．为

了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低

个百分点，

收购量能增加

个百分点．试确定

的范围，使税率调低后，国家此项税收总

收入不低于原计划的

78%.

[思路点拨]将文字语言转换成数学语言：

“税率降低

个百分点”即调节

后税率为（8－x）%；

“收购量能增加

个百分点”，此时总收购量为

m（1＋2x%）

吨，“原计划的

78%”即为

400m×

8%×

[解]设税率调低后“税收总收入”为

元．

y＝2

400m（1＋2x%）·

（8－x）%

依题意，得

y≥2

78%，

整理，得

x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.

根据

的实际意义，知

的范围为

x≤2.

求解一元二次不等式应用问题的步骤

2．某校园内有一块长为

800

m，宽为

600

的长方形地面，现要对该地面

进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面

积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

[解]设花卉带的宽度为

m（0<

600），则中间草坪的长为（800－2x）m，宽

＋600×

100≥0，即（x－600）（x－100）≥0，所以

x≤100

x≥600，x≥600

不

符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为

0＜x≤100.

不等式恒成立问题

[探究问题]

1．若函数

y＝ax2＋2x＋2

对一切

x∈R，f（x）>

恒成立，如何求实数

的取

值范围？

a＝0，显然

不能对一切

x∈R

都成立．所以

a≠0，此时只有

二次函数

的图象与直角坐标系中的

轴无交点且抛物线开口向上

⎧⎪a＞0，

2．若函数

y＝x2－ax－3

对－3≤x≤－1

上恒有

x2－ax－3<

成立，如何求

的范围？

要使

在－3≤x≤－1

上恒成立，则必使函数

y＝x2－ax

－3

上的图象在

轴的下方，由

的图象可知，此时

应满足

⎧⎪

⎪（－3）2＋3a－3＜0，⎧3a＋6<

⎨即⎨

⎪⎩

⎩（－1）2＋a－3＜0，⎪a－2<

－2.

故当

a＜－2

时，有

f（x）<

上恒成立．

3．若函数

y＝x2＋2（a－2）x＋4

对任意－3≤a≤1

时，y<

恒成立，如何求

的取值范围？

由于本题中已知

的取值范围求

x，所以我们可以把函数

f（x）转化为

关于自变量是

的函数，求参数

的取值问题，则令

y＝2x·

a＋x2－4x＋4.

要使对任意－3≤a≤1，y<

恒成立，只需满足

⎧⎪2x＋x2－4x＋4＜0

⎪⎩（－3）×

2x＋x2－4x＋4＜0，

⎧⎪x2－2x＋4<

即⎨

⎪⎩x2－10x＋4<

因为

x2－2x＋4<

的解集是空集，

所以不存在实数

x，使函数

对任意－3≤a≤1，y<

恒成

立．

3】已知

y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0

恒成立，

求

的取值范围．

[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问

题，可以利用函数的图象与性质求解．

[解]设函数

y＝x2＋ax＋3－a

在－2≤x≤2

时的最小值为关于

的一次函

数，设为

g（a），则

aa2

（2）当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4

时，g（a）＝3－a－

≥0，解得－6≤a≤2，

此时－4≤a≤2.

时－7≤a<

－4.

综上，a

的取值范围为－7≤a≤2.

1．（变结论）本例条件不变，若

y＝x2＋ax＋3－a≥2

恒成立，求

的取值范

围．

[解]若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2

恒成立可转化为：

当－2≤x≤2

时，y

⎧－a<

－2，

⎨2

⎩ymin＝（－2）2－2a＋3－a＝7－3a≥2，

⎧⎪－2≤－a≤2，

⎪⎩ymin＝⎛－a⎫2＋a·

⎛－a⎫＋3－a＝3－a－a2≥2，

⎧－a>

2，

或⎨2

⎩ymin＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，

的取值范围为－5≤x≤－2＋2

2．（变条件）将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0

恒成立”

变为“不等式

x2＋2x＋a2－3>

的解集为

R”，求

[解]法一：

∵不等式

R，

∴函数

y＝x2＋2x＋a2－3

的图象应在

轴上方，

∴Δ＝4－4（a2－3）<

令

y＝x2＋2x＋a2－3，要使

R，则

满足

ymin＝a2－4>

0，解得

法三：

由

0，得

a2>

－x2－2x＋3，

即

－（x＋1）2＋4，要使该不等式在

上恒成立，必须使

大于－（x＋1）2

＋4

的最大值，即

4，故

1．不等式

的解是全体实数（或恒成立）的条件是：

当

a＝0

时，

⎧a>

a≠0

时，⎨

⎩Δ<

⎧a<

3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范

围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二

次不等式（组）求解．当不等式含有等号时，分母不为零．

2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参

数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参

数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：

（1）若

f（x）有最大值

f（x）max，则

f（x）恒成立⇔a>

f（x）max；

（2）若

f（x）有最小值

f（x）min，则

f（x）恒成立⇔a<

f（x）min.

3．在某集合

中恒成立问题

设

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

ax2＋bx＋c＞0

在集合

中恒成立，则集合

是不等式

的

解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值（范围）.

1．思考辨析

（2）求解

ax2＋bx＋c（a＜0）恒成立时，可转化为求解

y＝ax2＋bx＋c

的最小

值，从而求出

的范围．（）

[提示]

（1）x>

1⇒xx

0⇒{x|0<

1}．故

（1）错．

（2）m>

ax2＋bx＋c（a＜0）恒成立转化为

ymax，故

（2）错．

[答案]

（1）×

（2）×

（x＋1）（x＋2）2（x＋3）

x＋4

{x|－4<

－1}[原式可转化为（x＋1）（x＋2）2（x＋3）（x＋4）>

根据数轴穿根法，解集为－4<

－1.]

3．对于任意实数

x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4＜0

恒成立，则实数

取值范围是________．

－2＜a≤2[当

a－2＝0，即

a＝2

时，－4＜0

恒成立；

a－2≠0，即

a≠2

时，则有

⎧⎪a－2＜0，

⎪⎩Δ＝[－2（a－2）]2－4×

（a－2）×

（－4）＜0，

解得－2＜a＜2.综上，实数

的取值范围是－2＜a≤2.]

4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯

元的价格销售，每天能卖

出

盏；

若售价每提高

元，日销售量将减少

盏．为了使这批台灯每天能获

得

元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？

[解]设每盏台灯售价

元，则

x≥15，并且日销售收入为

x[30－2（x－15）]，

由题意知，当

x≥15

x[30－2（x－15）]>

400，解得：

15≤x<

20.

所以为了使这批台灯每天获得

元以上的销售收入，应当制定这批台灯的

销售价格为

15≤x＜20.

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