八年级上册数学同步培优第1讲 三角形尖子班Word格式文档下载.docx
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2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候,为避免错误,可写成-[-(a﹣b﹣c)]的形式,再去括号。
a﹣b+2c可看做(a﹣b+c)+c,再判断正负。
【随堂练习】
1.(2018春•宽城区期末)已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是______.
(2)若第三边c的长为偶数,则c的值为______.
(3)若a<b<c,则c的取值范围是_______.
2.(2018春•沈丘县期末)“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:
分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有_____种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元╱分米,问至少需要多少钱购买材料?
(忽略接头)
知识点2三角形的中线
三角形的中线:
在三角形中,连结一个顶点与它的对边中点的线段,叫做三角形的中线.
三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等。
1.如图,A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点,若
的面积是14,求△ABC的面积?
本题已知:
A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点,所以我们连接AB1,BC1,CA1,使A1B、B1C、C1A成为三角形的中线,寻找三角形面积的关系,从而得到
与△ABC面积的关系。
1.(2018春•抚宁区期末)如图,AE是△ABC的中线,已知EC=4,DE=2,则BD的长为( )
A.2B.3C.4D.6
2.(2017秋•武清区期末)如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC=_____cm.
知识点3三角形的高线
1、三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
2、三角形的面积:
(1)三角形的面积:
底与高乘积的一半
(2)等底等高的两个三角形面积相等
(3)高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比
1.如图,△ABC中,AB=AC,CG⊥AB于G,P为线段BC上的一动点,PK⊥AB于K,PM⊥AC于M,探究线段PK、PM与CG之间的数量关系.
本题利用三角形面积相等,确定线段的关系:
连接AP,可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积,根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系.
1.(2018•周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(2018春•九台区期末)如图,H若是△ABC三条高AD,BE,CF的交点,则△BHA中边BH上的高是_____.
知识点4三角形的角平分线
1、三角形的角平分线:
在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线.
2、三角形的角平分线交于一点,且交点在三角形内。
3、三角形的角平分线是线段,一个角的角平分线是射线。
1.已知△ABC,如图,若D点是△ABC内任一点,BD、CD分别在三角形的角平分线上,则∠D、∠A的关系为_________
角平分线把一个角分成两个相等的角,利用倒角可得到角之间的关系。
此题可记住结论:
当BD、CD是三角形ABC的角平分线时,
1.(2016春•盐城校级月考)如图,AD是△ABC的BC边上的高,AE平分∠BAC,若∠B=42°
,∠C=70°
,求∠AEC和∠DAE的度数.
2.已知△ABC中,∠ACB=90°
,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、E,求证:
∠CFE=∠CEF.
知识点5三角形的内角和定理
三角形内角和定理:
三角形三个内角和等于180°
1.如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,∠BAD=∠BDA,∠CAE=∠CEA,∠DAE=
∠BAC,求∠BAC的度数.
题目中没有给出角的度数,但是给了角度之间的关系,可以设未知数,用未知数来表示三角形中的角,利用三角形内角和为180°
建立等量关系,求得未知数和所要求的角。
1.(2017秋•宁城县期末)当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时,我们称此三角形为“半角三角形”,其中α称为“半角”.如果一个“半角三角形”的“半角”为25°
,那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为_____.
2.(2018春•宝应县期末)如图,点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点,将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折,三个顶点均落在△ABC内点O处,则∠1+∠2为_____°
.
3.(2018春•江都区期末)如图△ABC中,将边BC沿虚线翻折,若∠1+∠2=100°
,则∠A的度数是____度.
知识点6三角形的外角性质
1、三角形的外角:
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.
2、三角形外角的性质:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
3、燕尾形
结论:
1.已知△ABC,若D点是△ABC外一点,位置如图所示.BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线,则∠D、∠A的关系为________
本题要求∠D与∠A的关系,可以从两个三角形的外角入手,由三角形外角性质可得:
∠ACE=∠A+∠ABC①,∠DCE=∠D+∠DBE②,由①-2×
②,可得
2.如图,求证:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°
本题求七角形各角的度数和,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,把这七个角凑到一个三角形里,再根据三角形的内角和等于180°
求解
1.(2018•聊城)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'
处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'
=γ,那么下列式子中正确的是( )
A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°
﹣α﹣β
2.(2018春•沙河市期末)探究与发现:
有一块直角三角板DEF放置在△ABC上,三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C.请写出∠BDC与∠A+∠ABD+∠ACD之间的数量关系,并说明理由.
应用:
某零件如图所示,图纸要求∠A=90°
,∠B=32°
,∠C=21°
,当检验员量得∠BDC=145°
,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?
3.(2018春•内江期末)如图,在△ABC中,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E
(1)填空:
①如图1,若∠B=60°
,则∠E=____;
②如图2,若∠B=90°
,则∠E=_____;
(2)如图3,若∠B=α,求∠E的度数;
(3)如图4,仿照
(2)中的方法,在
(2)的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线,且两条角平分线交于点G,求∠G的度数.
4.(2018春•灌云县期末)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
【习题回顾】已知:
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
,AE是角平分线,CD是高,AE、CD相交于点F.求证:
∠CFE=∠CEF;
【变式思考】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,则∠CFE与∠CEF还相等吗?
说明理由;
【探究廷伸】如图3,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断∠M与∠CFE的数量关系,并说明理由.
综合运用
1.如图,有一块三角形试验地,现引进四种良种进行比较实验,要将这块地分成面积相等的四块,请你制定两种划分方案.
2.如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4cm,BC=8cm,CE=6cm,求AD的长度.
3.如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,BE的中点.且S△ABC=8cm2,求△CEF的面积.
4.已知:
如图,△ABC,求证:
∠A+∠B+∠C=180°
5.如图,BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,BF与CE交于G,若∠BDC=140°
,∠BGC=110°
,求∠A的度数.
6.如图,在△ABC中,∠1=100°
,∠C=80°
,∠2=
∠3,BE平分∠ABC,求∠4的度数.
7.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.
(1)若∠A=76°
,求∠BOC的度数;
(2)若∠A=α,∠BOC=β,请猜想α与β之间的数量关系,并说明理由.