高中数学最值问题Word文档格式.docx

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时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数（

解法二:

（从特殊考虑）f（0）?

1,又x?

R，故f（x）不可能是奇函数（若a?

0，则f（x）?

f（?

1，f（x）为偶函数;

若

，则f（a）?

1,f（?

a）?

2a?

1，知f（?

f（a），故f（x）在

时，既不是奇函数又不是偶函数（

（2）当x?

a时，f（x）?

（x?

）?

性质知:

若a?

，由二次函数图象及其4

，函数f（x）在（?

a]上单调递减，从而函数f（x）在（?

a]上的最小2

1132

值为f（a）?

a]上的最小值为f（）?

，且

224

f（）?

f（a）（2

1232

当x?

a时，函数f（x）?

（

1131

，函数f（x）在[a,?

）上的最小值为f（?

a，且f（?

f（a）;

22421

）上单调递增，从而函数函数f（x）在[a,?

）上的最

小值为f（a）?

1（

1311时，函数f（x）的最小值是?

当?

时，函数f（x）2422132

的最小值为a?

当a?

时，函数f（x）的最小值是a?

综上所述，当a?

点评:

1（研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及f（x）

与f（?

或从特殊情形去估计，再加以验证（

2（二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像（当对称轴与所给定义域区间

的相对位置关系不确定，则需分类讨论（

3（本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些

同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论（

演变1:

（05年上海）已知函数f（x）=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,AB?

2i?

2j（i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量）,函数g（x）=x2,x,6（

（1）求k、b的值;

（2）当x满足f（x）g（x）时,求函数

g（x）?

的最小值（f（x）

1x2?

点拨与提示:

由f（x）g（x）得x的范围，,,x+2+,5，用

2f（x）x?

不等式的知识求其最小值（

演变2:

（05年北京卷）已知函数f（x）=,x3，3x2，9x，a（（I）求f（x）的单调递减区间;

（II）若f（x）在区间[,2，2]上的最大值为20，求它在该

区间上的最小值（点拨与提示:

本题用导数的知识求解（

问题2:

三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解（

x2y2

1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右例2:

（05年上海）点A、B分别是椭圆

3620

焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?

PF（

（1）求点P的坐标;

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值（

将d用点M的坐标表示出来，

549

d2?

2）2?

y2?

4x2?

20?

x2?

）2?

15，然后求其最小值（

992

解:

（1）由已知可得点A（,6,0）,F（0,4）

设点P（x,y）,则AP={x+6,y},FP={x,4,y},由已知可得

13?

3620，则2x2+9x,18=0,解得x=或x=,6（

6）（x?

4）?

由于y0,只能x=

533353

于是y=（?

点P的坐标是（,）

2222

（2）直线AP的方程是x,3y+6=0（设点M（m,0）,则M到

直线AP的距离是

于是

=m?

6,又,6?

6,解得m=2（

椭圆上的点（x,y）到点M的距离d有d?

2）?

2）,?

由于,6?

6,?

当x=时,d取得最小值

演变3:

（05年辽宁）如图，在直径为,的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y?

（?

）将十字形的面积表示为?

的函数;

）?

为何值时，十字形的面积最大,最大面积是多少,点拨与提示:

将十字型面积S用变量?

表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值（

问题3:

最值的实际应用

在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值（

例3:

（06年江苏卷）请您设计一个帐篷（它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）（试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大,

将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值（

设OO1为xm，则1?

由题设可得正六棱锥底面边长为:

1）?

2x?

x2，（单位:

m）

故底面正六边形的面积为:

帐篷的体积为:

332

（单位:

m）?

（8?

x2）2=?

x2），

x2）[（x?

1]?

（16?

12x?

x3）（单位:

m3）223

求导得V&

#39;

（x）?

（12?

3x2）（

令V，x?

2，（&

0，解得x?

2（不合题意，舍去）当1?

2时，V为增函数;

（&

0，V（x）当2?

4时，V为减函数（（&

0，V（x）?

2时，V（x）最大（

答:

当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m（V（x）?

本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力演变4（（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为:

污物质量

）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99（有两

物体质量（含污物）

种方案可供选择（方案甲:

一次清洗;

方案乙:

分两次清洗（该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为

a（1?

3）（设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

acx?

0.8

，其中（x?

1）（用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

ax?

c（0.8?

0.99）是该物体初次清洗后的清洁度（

（1）分别求出方案甲以及c?

0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小（

（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少,并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响（

5c?

设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，x?

，y?

a（99?

100c）

5（1?

c）

100a（1?

c）?

1，利用均值不等式求最值（于是x?

+a（99?

100c）?

c）5（1?

c）问题4:

恒成立问题

不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题（f（x）,m恒成立，即f（x）min,m;

篇二:

高中数学最值问题大盘点（作者赵先举）

最值问题大盘点

（作者赵先举）

最值问题一直是高中数学的重要内容之一,也是高考的热点问题.它综合性强,且在生产与生活中有这广泛的应用.因此,求最值问题是我们在高中阶段必须掌握的内容.下面结合具体例子来说明,不同条件下求最值的方法.一、二次函数求最值问题

二次函数是我们最熟悉的函数之一,求二次函数的最值一般需要考虑对称轴,而对于一些含参数的二次函数在限定区间上的最值还要进行分类讨论.这也是主要的考查方式.例1.设函数f（x）?

ax2?

（2a?

1）x?

1在区间[?

2]上的最大值为3,求实数a的值.

1121,此时f（x）?

1,可知,a?

适222

39a327

3a?

3,可得a?

此时对称轴为x?

开口向下,合题意;

令f（?

3,即

24234

[解析]:

令f

（2）?

3,即4a?

4a?

3,解得a?

2a11?

4a2（2a?

1）（1?

2a）

3,即?

此时对适合题意;

令f（2a24a2a

称轴为x?

2],不适合题意;

0时显然也不适合题意.

3221或.22

[点评]:

解决二次函数在某一区间上的最值,应注意二次函数图象的开口方向,对称轴的位置以及二次函数在此区间上的但调性等.对于含参数求最值的讨论,其主要依据就是对称轴与区间的关系,一般可以分为三种情况:

对称轴在所给区间的左边,在区间内及在区间的右边.二、抽象函数的最值问题

抽象函数由于没有具体的解析式,一般都是在单调性与奇偶性等基础进行求最值.有时候需要先证明这些性质.

例2.已知f（x）是定义在R上的奇函数,且满足如下两个条件:

对于任意的x,y?

R都有

f（x?

y）?

f（y）;

0时,f（x）?

0,且f

（1）?

669.求函数f（x）在区间

3,3]上的最大值和最小值.

本题没有具体的解析式,要求其最值,,可先根据已知条件确定函数在[?

3,3]上的单调性.设x1?

x2,则由条件?

可得f（x2）?

f[（x2?

x1）?

x1]?

f（x2?

f（x1）,即

f（x2）?

f（x1）.因为x2?

x1?

0,由条件?

可得f（x2?

0,即

f（x1）?

0,即f（x1）?

f（x2）.所以,f（x）在R上单调递减.所以,f（x）的最大值为

3）?

f（3）?

f（1?

（1）?

2007,最小值为

2007.

对于抽象函数求最值,由于没有具体函数,一般是通过研究函数的单调性来确定其最值.而对于抽象函数单调性的证明一般是直接采用定义直接证明即可.

三、数列中的最值问题

数列是一种特殊的函数,它和函数一样也有相应的最值,尤其是等差数列的前n项和,它的形式是关于正整数n的二次函数的形式,可以借助二次函数的方法求最值,也可以根据数列的特点求最值.

9n（n?

1）

例3.已知an?

（n?

N*）,试问:

数列{an}有没有最大项?

如果有,求出最大项,如果没n

有,请说明理由.

1）9n?

an?

10n10

设{an}中第n项最大,则?

即?

解之得8?

9,即第

nn?

1a?

9（n?

10n?

10n

8项和第9项最大.

如果数列的第n项最大,则?

则{an}从第1项到第n项是递增的,从第n项开

始是递减的;

其实,若第n项最小,类似有?

.这是求数列中最小项的基本方法.

例4.等差数列{an}中,a1?

25,S17?

S9,问数列前多少项之和最大,并求此最大值.[解法一]:

设公差为d,则由?

故Sn?

25n?

a1?

2517?

169?

9a1?

d,可得d?

2.?

17a1?

S922?

n（n?

13）2?

169,所以,前13项和最大,最大值为169.2

[解法二]:

由前n项和的定义及S17?

S9可得:

a2?

a17?

a9,即

a10?

a11?

a12?

0,根据等差数列的性质可得:

4（a13?

a14）?

0,即a13?

a14?

0,而a1?

25?

0,故数列递减,所以,a13?

0且a14?

0,所以,前13项的和最大.再代入求出最大值

为169.

[解法三]:

由解法一可得d?

2,所以,an?

1）（?

27?

2n,

由?

即

2n?

13.5

故n?

13.即前13项和最大,同样可得最大值169.?

2（n?

0n?

12.5?

二次函数的前n项和的最大（小）值有两种求解方法.一是利用二次函数的性质找对称轴,根据对称轴确定最大值对应的n;

而是利用数列的特点,若前n项和最大,则?

若前

n项和最小,则?

根据不等式组来确定对应的n值,再求最值.

四、三角函数的最值问题

由于三角函数本身取值范围就有一定的限制,因此三角函数的最值问题也是考查的重要内容.其中以正弦与余弦有关的最值问题居多.

例5.已知函数f（x）?

sin2x?

2sinxcosx?

3cos2x，x?

R.求:

（I）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合;

（II）函数f（x）的单调增区间.[解析]（I）解法一:

cos2x3（1?

cos2x）?

cos2x?

）224

当2x?

2k?

即x?

（k?

Z）时,f（x

）取得最大值2函数f（x）的取得最大值的自变量x的集合为

{x/x?

R,x?

Z）}.

（sin2x?

2cos2x?

n2x?

）,?

Z）时,f（x）取得最

大

值2?

.函数f（x）的取得最大值的自变量x的集合为

{x/?

xR,?

k.）Z}

（II）解

f（x）?

即:

）由题意得:

2k?

Z）

Z）因此函数f（x）的单调增区间为[k?

]（k?

Z）.

8888

本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运

用三角有关知识的能力.解此类问题的关键是把函数进行合并,利用正弦与余弦函数的有界性判定最值.

例6.求当函数y?

sinx?

acosx?

的最大值为1时a的值.22

a1a2a211

设cosx?

t则[解析]:

cosx?

（cosx?

222422

a2a211

1,所以转化为求二次函数y?

（t?

1）的最大

值为1

2422

时a的值.

a3a33a3

1,即a,,2时,t,,1,y有最大值?

由题设可知,?

所222225

以,a?

2（舍去）;

（1）.当

aaa2a1

由题意可得

（2）.当?

1,即?

2时,t?

y有最大值

22422

a2a1

解得a?

1正号舍去）,

即a?

1422

（3）.当

aa3a3

1,即a,2时,t,1,y有最大值?

由题意可知,?

1,所以,a,5.

22222

综上可知

1a,5.

此题实际上就是在限定区间上求二次函数的最值问题.解题的关键是对所转化的二

次函数进行配方,找出函数的对称轴,根据三角函数的取值范围对对称轴中字母的讨论.讨论的依据就是看对称轴是否在t的取值范围内,也即t是否可以等于对称轴.五、不等式中的最值问题

不等式本身就是来解决最大值与最小值的一种工具.而“两个正数的算术平均数不小于这两个数的算术平均数”这一结论为求最值提供了依据.

的最值.

3636

（1）.当x?

0时，y?

当且仅当x?

即x?

6时取等号。

所以当x?

6时，ymin?

3636?

12?

0，?

（2）.当x?

0时，?

0，?

xxx?

[（?

）]?

12?

x36

当且仅当?

，即x?

6时取等号，所以当x?

6时，ymax?

例7.求函数y?

本题主要应用均值不等式，不要忽略了应用均值不等式求最值时的条件:

两个数都应大于零，否则可能导致错误.因为函数y?

的定义域为?

，0?

，

所以必须对x的正负加以分类讨论.六、与导数中有关的最值问题

导数是判断高次函数性质的重要方法,它从函数的单调性入手分析函数的图像特征,从而得出函数的极值或最值.

例8.已知函数f（x）?

ax，g（x）?

x，方程f（x）?

0的一个根是6.

（1）求函数f（x）和g（x）的图象在第一象限内的交点A的坐标;

（2）若直线x?

t（0?

2）与函数f（x）和g（x）的图象的交点分别是M、N，试求当t取何

值时线段MN的长度取得最大值;

（3）已知函数f（x）图象在M点处的切线为l1，g（x）的图象在N点处的切线为l2，若l1、l2与x轴的交点分别为P、Q，试求P、Q两点之间距离的取值范围.

（1）.方程f（x）?

0即?

0，它有一个根6，所以得a?

6，这样

6x32

6x，解得x?

0,2,?

3.当x?

2时得得f（x）?

6x.由?

8，所以函数f（x）和g（x）的图象在第一象限内的交点A的坐标是（2,8）;

（2）.依题意得线段

的长度|MN|?

t2?

6t）?

t3?

6t,设

h（t）?

6t，则h&

（t）?

3t2?

2t?

6，令h&

0，得t?

，3

由于0?

2，所以取t?

，当0?

时h&

0，当

时函数h（t）取得最大值.即当?

2时h&

0，所以当t?

33t?

时，线段MN的长度取得最大值;

（3）由于M（t,?

6t），f（x）?

6，所以函数f（x）图象在M点处的切线l1的斜2

率为?

6，于是l1的方程为y?

t），令y?

0得

6tt2

xP?

;

同理,N（t,t3），g&

3x2，所以l2的方程为

2t2t?

3t2（x?

t）

，令

得

xQ?

.所以

2tt2t2?

12t127

|PQ|?

[（t?

6],因为0?

2，所以

32t?

66（t?

3）6t?

12710

1，于是可得?

6]?

（0,），故P、Q两点之间距离的取值

6t?

范围是（0,）.

我们知道,在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.极值有时候就是最值,但最值也有可能在区间端点处取.因此解决这一类问题的方法是:

先求出在对应区间上的极值,再与区间端点的函数值进行对比.最大的为最大值,最小的为最小值.

篇三:

毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略

1引言.............................................................0

2文献综述...........................................................1

2.1国内研究现状......................................................1

2.2国内研究现状评价..................................................1

2.3提出问题...............................................

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