三招求圆的切线方程.doc

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三招求圆的切线方程

江西省永丰中学吴全根

求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？

下面教你三招.

一、公式法可求过圆上一点的切线方程.公式如下：

①过圆x2+y2=r2上点P（x0,y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.

②过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上点P（x0,y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

③过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上点P（x0,y0）的切线方程x0x+y0y+D+E+F=0.

点评：

（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.

（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.

（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.

例1求过点A（4，1）且与圆（x-2）2+（y+1）2=8相切的切线方程.

解一：

（公式法）（4-2）2+（1+1）2=8点A（4，1）在圆上，

圆的切线方程为（4-2）（x-2）+（1+1）（y+1）=8,即x+y-5=0.

解二：

（公式推导法）圆心C（2，-1）k=1过点A的切线的斜率k=-1.

所求切线方程为y-1=-1（x-4）,即x+y-5=0.

二、待定系数法可求过圆外一点P（x0,y0）的圆的切线方程或求已知切线的斜率k的切线方程.此时可设圆的切线方程为y-y=k（x-x）或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径”这一性质求k.

例2求过点M（2，4）向圆（x-1）2+（y+3）2=1所引的切线方程.

解：

设所求切线方程为y-4=k（x-2）即kx-y-2k+4=0（倾斜角不为900）,d=,k=,切线方程为24x-7y-20=0.

当倾斜角为900时，切线方程为x=2.过M点的切线方程为24x-7y-20=0或x=2.

点评：

因为过圆外一点P（x0,y0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k一般有两个值,若k只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x0，应补回来.

三、判别式法其依据是圆的切线的定义.

例3已知圆C：

x2+y2+2x-4y+3=0，若圆C的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.

解：

（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c分别代人圆C的方程得2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0，或2x2+2（c-1）x+（c2-4c+3）=0

直线与圆相切，上述两方程均有等根，=0，由此可得：

b=3或b=-1,c=5或c=1

切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+5=0或x-y+1=0.

（2）当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=（2±）x.

点评：

（1）此题也可以用方法二求解；

（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.