《导数的概念及其几何意义》教学设计Word文档格式.docx
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2.过程与方法:
体会瞬时变化率,归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势,发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观:
学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养,渗透不断逼近和以直代曲的数学思想,以有限认识无限,体会量变和质变的辩证关系,感受数学思想的无限魅力。
教学重点:
导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点:
教学过程:
【复习回顾,创设情境】:
回顾什么是平均变化率?
情境1、吹气球的时候,随着气球的不断膨胀,吹起,会越越难,这是
怎么回事?
怎样用数学知识解释这一现象?
情境2、巍峨的珠穆朗玛峰,攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片,
当陡峭程度不同时,登山运动员的感受程度是不一样的,如何用数学反映山
势的陡峭程度,给我们的登山运动员一些有益的技术参考?
情境3、观看跳水视频,运动员从10米高台跳水时,从腾空到进入水面的过
程中,设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为
。
计算运动员在这段时间内的平均速度,并思
考下面的问题:
【提出问题】:
问题1:
你认为运动员在这段时间内是静止的吗?
问题2:
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
问题3:
为了不断提高成绩,应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析,如何求运动员的瞬时速度?
问题4:
你能够设计一个方案,求运动员的在某时刻的瞬时速度吗?
【解决问题】:
两人一微小组,四人一微大组,经过讨论,大家都得到运动员在这段时间内的平
均速度为0,但是我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”,为什
么会产生这样的情况呢?
平均速度只能够粗略的描述物体在某段时间的运动状
态,为了能够更精确的刻画物体运动,我们有必要研究某个时刻的速度,即瞬时
速度。
分组进行:
第一二组:
设计从左侧计算在2秒处平均速度的逼近值;
计算在区间、
、的平均速度,说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速度?
第三四组:
设计从右侧计算在2秒处平均速度的逼近值;
、的平均速度,说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速
度?
经过计算,在数值上,当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1,从物理的角度看,即该运动员的平均速度当随着时间间隔无限变小,平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
为了表述方便,我们引入一个符号:
,即就是,计算方法可以是,
运动员在时刻的瞬时速度为:
当时,瞬时速度的值是-13.1
【导数的概念】:
设函数,当自变量x从x0变到x1时,函数值从变到,函数值y关于x的平均变化率为:
,当x1趋近于x0时,即趋近于0时,如果平均变化率趋近于一个固定值,那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数在点x0的导数,通常用符号表示,记作
问题1:
运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示?
函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示?
怎样理解“无限趋近于0”?
与的具体取值有关系吗?
怎么求一个函数在某个点处的导数值?
1、运动员在某一时刻的瞬时速度即;
函数在某一点处的瞬时变化率即导数
2、的值与有关,对于不同的值一般有不同的导数值,
与的具体取值无关,可正可负,不可为0。
是无限趋向于0。
而可以为0。
3、导数即瞬时变化率,同一概念的两个名称。
4、求函数在某点处的导数:
一差、二化、三极限,可以带领学生计算圆的面积S随着
半径的变化而变化,随着半径增大而增大的快慢情况。
5、一般的,函数在某点处的导数值反映了函数在这点处的变化情况,从而也揭示了事
物在某一时刻的运动状况。
前面吹气球问题,在气球膨胀到一定程度以后,瞬时变化
率变大,越越难。
登山过程中山势越陡峭,山坡的长度的变化率越大,登山越越
难。
【数学化】
导数的历史背景,17世纪诞生了微积分,微积分是人类思维的伟大成果之一,是人类
经历了2000多年的智慧成果,开创了数学向近代数学过渡的新时期,其中牛顿和莱布
尼茨功不可没,他们各自独立创立了微积分,单凭这一项成就,就足以奠定两人科学
史上的伟大地位。
但是导数的起可以追朔到更早的古希腊时期,它的主要起还是
三个很古老的问题:
光学问题中对于一般曲线的入射光是怎样反射的?
如何确定曲线
运动的速度方向?
如何求两条相交的曲线所构成的夹角?
而要解决这三个不同的问
题,归根结蒂却都是要解决同一个问题:
那就是曲线的切线问题!
回到刚才的情境,在跳水问题中运动员的高度函数的图像是怎样的?
函数在上的平均变化率是,你能说出它的几何意义吗?
当变化时,直线如何变化?
当时,直线又是如何变化的?
作出函数的图像,写出过曲线上任意两点的直线的斜率,交流讨论上面提出的问
题。
老师利用几何画板作出函数的图像,同学们观察变化情况,交流理解导数的几何
意义:
【几何画板作图】:
单击桌面左下角的【开始】按钮,选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后,
启动几何画板。
1、单击【绘图】定义坐标系;
选中x轴;
2、单击【构造】对象上的点,选中原点和轴上的点;
3、单击【构造】射线,选中射线上的点;
4、单击【度量】横坐标,单击【数据】度量纵坐标;
5、单击【绘图】绘制点,选中该点及x轴上点单击【构造】轨迹,成图。
函数在上的平均变化率是,它是过两点的直线的斜率,这条直线称为割线。
切线的定义:
设曲线是函数的图像,在曲线上取一点及临近一点,作割线PQ,当点Q沿着曲线无限逼近点P时,即时如果割线有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。
【导数的几何意义】:
函数在x0处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。
圆的切线的定义还适合曲线的切线吗?
曲线与切线一定只有一个交点吗?
割线与切线有什么关系?
割线的斜率和切线的斜率怎么计算?
有什么关系?
曲线的切线与切点的位置有关系吗?
怎样求曲线的切线方程?
1、对于割线PQ,它的斜率:
当时割线斜率的极限值就是切线的斜率观察过点P的切线PT,最贴近曲线因此在P点附近,曲线就可以用过点P的切线近似代替,这是微积分中的重要思想——以直代曲。
2、圆的切线的定义不再适合一般的曲线,通过逼近的方法,将割线趋近于的确定位置的直线定义为切线,并且交点可能不唯一,适用于各种曲线,这种定义才真正反映了切线的直观本质。
3、曲线在某点处的切线与点的位置有关,要根据割线是否有极限判断求解,曲线的切线未必与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个。
4、曲线在点处的切线方程为
5、运动员在2秒时的速度就是曲线在时的切线的斜率,
其中负号说明什么呢?
(留下悬念,埋下伏笔)
【典例分析】
已知函数。
(1)分别对求在区间上的平均变化率,并画出过点的相应割线;
(2)求函数在处的导数,并画出曲线在点处的切线;
写出函数在点处的切线的方程;
分析解答:
(1),,
利用几何画板软件做出函数的图像,画出相应的割线。
(2),曲线在点处的切线方程为
【板书】
导数及其几何意义
一、导数的概念
二、导数的几何意义
三、典例分析
【归纳总结】本节课归纳学习了导数的概念以及认识导数的几何意义,关键词是:
瞬时变化率、导数、割线、切线、斜率。
【布置作业】课本习题1,2,3