《函数的极值与最值》经典题(教师版).doc
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《函数的极值与最值》经典题
例.已知函数，求的极值。
解：
由题意得
令，解得，
变化时，、的变化情况如下表：
0
2
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
所以的极大值为，极小值为
变式.已知函数，求的极值。
解：
由题意得
令，解得，
变化时，、的变化情况如下表：
0
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
所以的极大值为，极小值为。
变式.已知函数，求的极值。
解：
由题意得
令，解得，
①若，当或时，,单调递增；
当,单调递减。
所以极大值为，极小值为。
②若，，在单调递增，
所以既无极大值，也无极小值。
③若，当或时，,单调递增；
当,单调递减。
所以极小值为，极大值为。
变式.已知函数，求在的最值。
解：
由题意得
令，解得，
变化时，、的变化情况如下表：
0
2
＋
0
－
0
＋
极大值0
极小值
又∵，
∴在的最小值为，最大值为。
变式.已知函数，若在处取得极大值，求实数
的值。
解：
∵∴
∵在处取得极大值∴
∵∴或
①当时，，
当或时，，单调递增；当时，,单调递减。
所以在处取得极小值，于是不合题意，应舍去。
②当时，，
当或时，,单调递减；当时，，单调递增。
所以在处取得极大值，于是符合题意。
综上，实数的值是。
例.已知函数
（1）若，求的极值；
（2）若,求在上的最大值；
（3）若在上的最小值为，求的值.
（4）若在上恒成立，求的取值范围.
解：
（1）当时，，则的定义域为,
令得,
当时,,单调递减；当时,,单调递增.所以的极小值为,无极大值。
（2）当时，，则的定义域为,
，
于是，当在上变化时，的变化情况如下表：
↘
极小值
↗
由上表可得，当时函数取得最大值.
（3），
①若,则即在上恒成立，此时在上是增函数∴∴（舍去）
②若,则即在上恒成立，此时在上是减函数∴∴（舍去）
③若,令，得
当时，∴在上为增函数
当时，∴在上为减函数
∴∴
综上，的值是
（）∵∴又∴
令，则
∴
∵∴∴在上是减函数
∴即
∴在上也是减函数,∴
∴当时,在上恒成立.
例．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最值.
（Ⅲ）当时，求函数在上的最小值.
（Ⅳ）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
解：
（Ⅰ）函数的定义域是，
①当时，，
故函数增函数，即函数的单调增区间为．
②当时，令，可得,
当时，；当时，，
故函数的单调递增区间为,单调减区间是.
（Ⅱ）当时，，
令解得
当时，；当时，，故在时取得极大值，也是最大值，
∵∴，故在时取得最小值，
（Ⅲ）①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数,
∴的最小值是.
②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数，
∴的最小值是.
③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．
又，∴当时,最小值是；
当时,最小值为.
综上可知,当时,函数的最小值是；当时，函数的最小值是.
（Ⅳ）由
（1）知时，在单调递增，当时，；
当时，；所以只有一个零点，不合题意。
当时，在单调递增在单调递减，所以当时，
当时，；当时，；所以要使函数有两个零点。
只需即解得
所以时，有两个零点。
例．已知函数.
（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
解：
.
（Ⅰ），解得.
（Ⅱ）.
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是.
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是.
③当时，，故的单调递增区间是.
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅲ）由已知，在上有
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，.
例．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．
解：
（1）因为，所以．
当时，，函数没有单调递增区间；
当时，令，得．故的单调递增区间为；
当时，令，得．故的单调递增区间为．
（2）由
（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间
为和．所以函数在处取得极小值，
函数在处取得极大值．
由于对任意，函数在上都有三个零点，
所以即解得．
因为对任意，恒成立，所以．
所以实数的取值范围是．
例．（2009陕西卷文）已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。
解：
（1）
当时，对，有
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；
的单调减区间为。
（2）因为在处取得极大值，所以
所以
由解得。
由
（1）中的单调性可知，
在处取得极大值，在处取得极小值。
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，
又，，
结合的单调性可知，的取值范围是。
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