高考数学全国甲卷通用理科知识 方法篇 专题7 解析几何 第35练 Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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·

＝，

＝·

－＝×

×

＝.所以＝.

设＝＋，则＝＝＝－＋＋，当＝，即＝时，取到最大值，

此时＝，满足（*）式，所以点坐标为.

因此的最大值为，此时点的坐标为.

四川）已知椭圆：

）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：

＝－＋与椭圆有且只有一个公共点.

（）求椭圆的方程及点的坐标；

（）设是坐标原点，直线′平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：

存在常数λ，使得＝λ·

，并求λ的值.

解（）由已知，得＝，

则椭圆的方程为＋＝.

由方程组得－＋（－）＝.①

方程①的判别式为Δ＝（－），由Δ＝，得＝，

此时方程①的解为＝，所以椭圆的方程为＋＝.点的坐标为（，）.

（）由已知可设直线′的方程为＝＋（≠），

由方程组可得

所以点坐标为，＝.

设点，的坐标分别为（，），（，）.

由方程组

可得＋＋（－）＝.②

方程②的判别式为Δ＝（－），

，解得－<

.

由②得＋＝－，＝.

所以＝

＝，同理＝.

所以·

＝

＝＝.

故存在常数λ＝，使得＝λ·

高考必会题型

题型一定值、定点问题

例已知椭圆：

）经过点（，），离心率为，直线经过椭圆的右焦点交椭圆于、两点.

（）若直线交轴于点，且＝λ，＝μ，当直线的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？

若是，求出λ＋μ的值；

否则，请说明理由.

解（）依题意得＝，＝＝，＝＋，

∴＝，＝，∴椭圆的方程为＋＝.

（）∵直线与轴相交于点，故斜率存在，

又坐标为（，），设直线方程为

＝（－），求得与轴交于（，－），

设交椭圆（，），（，），

由

消去得（＋）－＋－＝，

∴＋＝，＝，

又由＝λ，∴（，＋）＝λ（－，－），

∴λ＝，同理μ＝，

∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.

∴当直线的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.

点评（）定点问题的求解策略

把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

（）定值问题的求解策略

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.

变式训练已知抛物线＝（>

），过点（，－）的动直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为－时，点恰为的中点.

（）求抛物线的方程；

（）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

解（）当直线的斜率为－时，

直线的方程为＋－＝，即＝－，

代入＝（>

）得＋－＝，

＝－＝－，＝，

所以抛物线的方程为＝.

（）设直线的方程为＝（＋）＋，

代入＝得－－－＝，

设点（，），（，），

则＋＝，＝－－，

假设存在点（，）总是在以弦为直径的圆上，

则·

＝（－）（－）＋（－）（－）＝，

当＝或＝时，等式显然成立；

当≠或≠时，

则有（＋）（＋）＝－，

即＋－－＝－，（＋＋）（－）＝，

解得＝，＝，

所以存在点（，）满足题意.

题型二定直线问题

例在平面直角坐标系中，过定点（，）作直线与抛物线＝（>

）相交于，两点.

（）若点是点关于坐标原点的对称点，求△面积的最小值；

（）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程；

若不存在，请说明理由.

解方法一（）依题意，点的坐标为（，－），

可设（，），（，），

直线的方程为＝＋，

与＝联立得

消去得－－＝.

由根与系数的关系得＋＝，＝－.

于是△＝△＋△＝·

－

＝－＝

＝＝，

∴当＝时，（△）＝.

（）假设满足条件的直线存在，其方程为＝，

的中点为′，与以为直径的圆相交于点，，的中点为，

则′⊥，′点的坐标为（，）.

∵′＝＝＝，

′＝＝－－，

∴＝′－′

＝（＋）－（－－）

＝（－）＋（－），

∴＝（）＝[（－）＋（－）].

令－＝，得＝，

此时＝为定值，故满足条件的直线存在，

其方程为＝，即抛物线的通径所在的直线.

方法二（）前同方法一，再由弦长公式得

＝－

，

又由点到直线的距离公式得＝.

从而△＝·

＝.

则以为直径的圆的方程为（－）（－）＋（－）（－）＝，

将直线方程＝代入得－＋（－）（－）＝，

则Δ＝－（－）（－）＝[（－）＋（－）].

设直线与以为直径的圆的交点为（，），（，），

则有＝－

点评（）定直线由斜率、截距、定点等因素确定.

（）定直线一般为特殊直线＝，＝等.

变式训练椭圆的方程为＋＝（>

），、分别是它的左、右焦点，已知椭圆过点（，），且离心率＝.

（）如图，设椭圆的左、右顶点分别为、，直线的方程为＝，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，求·

的值；

（）过点（，）任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与交于点，＝，＝，求证：

＋＋＝.

（）解由题意可得＝，＝，

∴＝，椭圆的方程为＋＝.

（）解设（，），则直线、的方程分别为

＝（＋），＝（－），

将＝分别代入可求得，两点的坐标分别为

（，），（，）.

由（）知，（－，），（，），

∴·

＝（＋，）·

（－，）＝＋，

又∵点（，）在椭圆上，

∴＋＝⇒＝－，

（）证明设（，），（，），（，），

由＝得（－，－）＝（－，－），

∴（≠－），

代入椭圆方程得（＋）＋＝（＋），①

同理由＝得（＋）＋＝（＋），②

①－②消去，得＋＝－，

∴＋＋＝.

题型三存在性问题

例（）已知直线＝交抛物线＝于，两点.若该抛物线上存在点，使得∠为直角，则的取值范围为.

答案[，＋∞）

解析以为直径的圆的方程为＋（－）＝，

由得＋（－）＋－＝.

即（－）[－（－）]＝，

由已知解得≥.

（）如图，梯形的底边在轴上，原点为的中点，＝，＝－，⊥，为的中点.

①求点的轨迹方程；

②过作的垂线，垂足为，若存在正常数λ，使＝λ，且点到，的距离和为定值，求点的轨迹的方程；

③过（，）的直线与轨迹交于、两点，求△面积的最大值.

解①设点的坐标为（，）（≠），

则（，－＋），（，＋－）.

又（，），（，－）.

由⊥有·

即（，－）·

（，＋）＝，

∴＋＝（≠），

即点的轨迹方程为＋＝（≠）.

②设（，），则（（＋λ），），

代入的轨迹方程有（＋λ）＋＝（≠）.

即＋＝（≠），

∴点的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要使点到，的距离之和为定值，

则以，为焦点，故－＝（）.

∴λ＝，从而所求的轨迹方程为＋＝（≠）.

③易知的斜率存在，设方程为＝＋，

联立＋＝（≠），

有（＋）＋－＝.

设（，），（，），

则＋＝－，＝.

∴－＝＝，

令＝＋，

则－＝且≥.

∴△＝×

∵≥，∴＜≤，

∴当＝，即＝，也即＝时，

△面积取最大值，最大值为.

点评存在性问题求解的思路及策略

（）思路：

先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；

若结论不正确，则不存在.

（）策略：

①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

变式训练（·

四川）如图，椭圆：

＋＝（＞＞）的离心率是，点（，）在短轴上，且·

＝－.

（）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点.是否存在常数λ，使得·

＋λ·

为定值？

若存在，求λ的值；

解（）由已知，得点，的坐标分别为（，－），（，），

又点的坐标为（，），且·

＝－，

于是解得＝，＝，

所以椭圆的方程为＋＝.

（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝＋，，的坐标分别为（，），（，），

联立得（＋）＋－＝，

其判别式Δ＝（）＋（＋）＞，

所以＋＝－，＝－，

从而，·

＝＋＋λ[＋（－）（－）]

＝（＋λ）（＋）＋（＋）＋

＝＝－－λ－.

所以当λ＝时，－－λ－＝－，

此时·

＝－为定值.

当直线斜率不存在时，直线即为直线，

此时，·

＋·

＝－－＝－.

故存在常数λ＝，使得·

为定值－.

高考题型精练

陕西）如图，椭圆：

＋＝（＞＞）经过点（，－），且离心率为.

（）经过点（，），且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），证明：

直线与的斜率之和为.

（）解由题设知＝，＝，

结合＝＋，解得＝，

（）证明由题设知，直线的方程为＝（－）＋（≠），代入＋＝，

得（＋）－（－）＋（－）＝，由已知Δ＞，

设（，），（，），≠，

则＋＝，＝，

从而直线，的斜率之和

＋＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋（－）

＝＋（－）＝－（－）＝.

.已知椭圆：

）的右焦点为（，），且点（，）在椭圆上，为坐标原点.

（）求椭圆的标准方程；

（）设过定点（，）的直线与椭圆交于不同的两点，，且∠为锐角，求直线的斜率的取值范围；

（）过椭圆：

＋＝上异于其顶点的任一点，作圆：

＋＝的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：

＋为定值.

（）解由题意得＝，所以＝＋，

又因为点（，）在椭圆上，

所以＋＝，可解得＝，＝，

所以椭圆的标准方程为＋＝.

（）解设直线方程为＝＋，设（，），（，），

由得（＋）＋＋＝，

因为Δ＝－>

，所以>

又＋＝，＝，

因为∠为锐角，所以·

即＋>

所以＋（＋）（＋）>

所以（＋）＋（＋）＋>

所以（＋）·

＋>

即>

，所以<

解得－<

－或<

（）证明由题意：

：

＋＝，

设点（，），（，），（，），

因为，不在坐标轴上，所以＝－＝－，

直线的方程为－＝－（－），

化简得＋＝，①

同理可得直线的方程为＋＝，②

把点的坐标分别代入①、②得

所以直线的方程为＋＝，

令＝，得＝，令＝，得＝，

所以＝，＝，

又点在椭圆上，所以（）＋（）＝，

即＋＝为定值.

山东）已知椭圆：

＋＝（＞＞）的长轴长为，焦距为.

（）过动点（，）（＞）的直线交轴于点，交于点，（在第一象限），且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.

①设直线，的斜率分别为，′，证明为定值；

②求直线的斜率的最小值.

（）解设椭圆的半焦距为.

由题意知＝，＝.

所以＝，＝＝.

（）①证明设（，）（＞，＞）.

由（，），可得（，），（，－）.

所以直线的斜率＝＝.

直线的斜率′＝＝－.

此时＝－.所以为定值－.

②解设（，），（，）.

由①知直线的方程为＝＋.

直线的方程为＝－＋.

联立

整理得（＋）＋＋－＝，

由＝，可得＝，

所以＝＋＝＋.

同理＝，＝＋.

所以－＝－＝，

－＝＋－－＝，

所以＝＝＝，

由＞，＞，可知＞，

所以＋≥，当且仅当＝时取“＝”.

因为（，）在椭圆＋＝上，

所以＝，故此时＝，

即＝，符合题意.

所以直线的斜率的最小值为.

）的右焦点为（，），短轴的一个端点到的距离等于焦距.

（）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？

若存在，求出直线的方程；

解（）由已知得＝，＝＝，＝－＝，

（）＝等价于＝，

当直线斜率不存在时，＝，

不符合题意，舍去；

当直线斜率存在时，设直线的方程为＝（－），

由消去并整理得，

（＋）＋－＝，

设（，），（，），则＋＝－，①

＝－，②

由＝得＝－，③

由①②③解得＝±

，因此存在直线：

＝±

（－）

使得△与△的面积比值为.