学而思奥数学习材料Word下载.docx
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利用倒数性质
m1
m2
m3
n1
n2
n3
若a
b
c,则c>
b>
a.。
,则m1
m3。
定义新运算
特殊数列求和
2
运用相关公式:
123
①
1222
②
③annn
1323
④
⑤abcabc
⑥a2
b2
⑦1+2+3+4
数论
奇偶性问题
奇奇=偶
奇偶=奇
偶偶=偶
位值原则
nn
n
12n
6
1n2
12
n2
n2n12
4
abc1001abc71113
abab
⋯(n-1)+n+(n-1)+⋯4+3+2+1=n
奇×
奇=奇
偶=偶
偶×
abc=100a+10b+c
数的整除特征:
整除数特征
2末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是
的倍数
5
末尾是0或5
9
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是
11的倍数
和25
末两位数是4
(或25)的倍数
8
和125
末三位数是8
(或125)的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7
(或11或13)的倍数
整除性质
如果c|a、c|b,那么c|(ab)。
如果bc|a,那么b|a,c|a。
如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
如果c|b,b|a,那么c|a.
a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
带余除法
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得
a=b×
q+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦
简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a÷
b=q⋯⋯r,0≤r<ba=b×
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
a1a2ak
n=p1×
p2×
...k×
p
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如
n=p1
a1
a2
ak
×
p2
...
k×
p那么:
n的约数个数:
d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和:
(1+P1+P1
+⋯p1
)(1+P2+P2
+⋯p2
)⋯(1+Pk+Pk
+⋯pk
)
同余定理
①同余定义:
若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则
a,b的差一定能被
c整除。
③两数的和除以
m的余数等于这两个数分别除以
m
的余数和。
④两数的差除以
的余数差。
⑤两数的积除以
的余数积。
9.完全平方数性质
A+B,A-B同奇偶性。
①平方差:
A-B
=(A+B)(A-B),其中我们还得注意
②约数:
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:
把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
10.孙子定理(中国剩余定理)
11.辗转相除法
12.数论解题的常用方法:
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
几何图形
平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×
180°
⑵等积变形(位移、割补)
三角形内等底等高的三角形
平行线内等底等高的三角形
公共部分的传递性
极值原理(变与不变)
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b;
S1︰S2=S4︰S3或者S1×
S3=S2×
S4
⑷相似三角形性质(份数、比例)
abch
①ABCH;
S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;
S=(a+b)2
⑸燕尾定理
A
F
DG
BEC
S△ABG:
S△AGC=S△BGE:
S△GEC=BE:
EC;
S△BGA:
S△BGC=S△AGF:
S△GFC=AF:
FC;
S△AGC:
S△BCG=S△ADG:
S△DGB=AD:
DB;
⑹差不变原理
知5-2=3,则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
化整为零
先补后去
7
正反结合
立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体:
V升水=V物
②测啤酒瓶容积:
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
典型应用题
植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
(外层边长数-1)×
4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
列车过桥问题
①车长+桥长=速度×
时间
②车长甲+车长乙=速度和×
相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×
追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×
车长=速度差×
年龄问题
差不变原理
鸡兔同笼
假设法的解题思想
牛吃草问题
原有草量=(牛吃速度-草长速度)×
平均数问题
盈亏问题
分析差量关系
和差问题
和倍问题
差倍问题
逆推问题
还原法,从结果入手
代换问题
列表消元法
等价条件代换
行程问题
相遇问题
路程和=速度和×
追及问题
路程差=速度差×
流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷
2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷
多次相遇
线型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数×
2-1
环型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×
共行全程数
环形跑道
行程问题中正反比例关系的应用
10
路程一定,速度和时间成反比。
速度一定,路程和时间成正比。
时间一定,路程和速度成正比。
钟面上的追及问题。
时针和分针成直线;
时针和分针成直角。
结合分数、工程、和差问题的一些类型。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
计数问题
加法原理:
分类枚举
乘法原理:
排列组合
容斥原理:
总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
常用:
总数量=A+B-AB
抽屉原理:
至多至少问题
握手问题
在图形计数中应用广泛
角、线段、三角形,
长方形、梯形、平行四边形
正方形
分数问题
量率对应
以不变量为“1”
利润问题
浓度问题
倒三角原理
例:
工程问题
①合作问题
水池进出水问题
按比例分配
方程解题
等量关系
相关联量的表示法
甲+乙=100甲÷
乙=3
12
an=a1+(n-1)d
x100-x3xx
②解方程技巧
恒等变形
二元一次方程组的求解
代入法、消元法
不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
不等方程的分析求解
找规律
⑴周期性问题
年月日、星期几问题
余数的应用
⑵数列问题
等差数列
通项公式
an
a11
求项数:
n=d
(a1
an)n
求和:
S=
等比数列
13
a1(qn1)
q1
裴波那契数列
⑶策略问题
抢报30
放硬币
⑷最值问题
最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
算式谜
填充型
替代型
填运算符号
横式变竖式
结合数论知识点
14
数阵问题
相等和值问题
数列分组
⑴知行列数,求某数
⑵知某数,求行列数
幻方
⑴奇阶幻方问题:
杨辉法罗伯法
⑵偶阶幻方问题:
双偶阶:
对称交换法
单偶阶:
同心方阵法
二进制
二进制计数法
二进制位值原则
二进制数与十进制数的互相转化
二进制的运算
其它进制(十六进制)
一笔画
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一笔画定理:
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点;
⑵两个奇点进必须从一个奇点进,另一个奇点出;
哈密尔顿圈与哈密尔顿链
多笔画定理
奇点数
笔画数=2
逻辑推理
等价条件的转换
列表法
对阵图
竞赛问题,涉及体育比赛常识
火柴棒问题
移动火柴棒改变图形个数
移动火柴棒改变算式,使之成立
智力问题
突破思维定势
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某些特殊情境问题
解题方法
(结合杂题的处理)
代换法
消元法
倒推法
假设法
反证法
极值法
设数法
整体法
画图法
排除法
染色法
构造法
配对法
列方程
⑴方程
⑵不定方程
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⑶不等方程
另外补充说明:
在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲,其实是找规律类型,知识点涉及棋盘格,几
何,数论等,属于综合性问题。
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