上学期七年级数学竞赛试题.doc
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2017年上学期七年级数学竞赛试题
时量：
120分钟 满分：
120分
一、选择题（共10个小题，每小题4分，满分40分）
1．若方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90=0的一个解，则a的值是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．7
2．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙2件、丙1件，共需315元，若购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购甲、乙、丙各1件，共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
3．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（ ）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
4．求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣S=22015﹣1，S=22015﹣1，我们把这种求和的方法叫错位相加减，仿照上述的思路方法，计算出1+5+52+53+…+52016的值为（ ）
A．52016﹣1 B．52017﹣1 C． D．
5．（﹣8）2016+（﹣8）2017能被下列数整除的是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：
江、爱、我、美、游、湄，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．湄江游 C．我爱湄江 D．美我小江
7．如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2=∠3=50° B．∠2=∠3=40°
C．∠2=40°，∠3=50° D．∠2=50°，3=40°
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，下列条件：
①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠4=∠5，④∠2+∠4=180°中，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（共8个小题，每小题5分，满分40分）
11．若am=6，an=3，则am+2n的值为_________．
12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：
甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是___________________．
13．已知5个数据：
8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是____________．
14．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转到△DBE的位置．连接AD，若∠ADB=60°，则∠1=___________°．
第14题图 第15题图 第18题图
15．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有___________种．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=30°，则∠COE的度数是____________．
17．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，小明由于看错了系数c，因而得到的解为，则a+b+c=___________．
18．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为___________．
三、解答题（共4个小题，每小题10分，满分40分）
19．已知x2﹣3x﹣4=0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．
20．某服装点用6000购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型
价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
21．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点
（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；
（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；
（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．
22．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：
我们知道，n个相同的因数a相乘可记为an，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3），一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）
（1）计算以下各对数的值：
log24= ，log216= ，log264= ．
（2）观察
（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？
log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？
（3）根据
（2）的结果，我们可以归纳出：
logaM+logaN=logaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你根据幂的运算法则：
=am+n以及对数的定义证明该结论．
七年级数学竞赛参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题4分，满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
C
C
C
C
B
A
二、填空题（共8个小题，每小题5分，满分40分）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
54
8或10
60
4
37.5
7
三、解答题（共4个小题，每小题10分，满分40分）
19、解：
原式=x2﹣1﹣x2﹣6x﹣9+2x2=2x2﹣6x﹣10=2（x2﹣3x﹣4）﹣2，
当x2﹣3x﹣4=0时，原式=2×0－2=﹣2．
20、解：
（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，解得：
．
答：
A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）=3800﹣1000﹣360=2440（元）．
答：
服装店比按标价售出少收入2440元．
21、解：
（1）作EH∥AB，如图，
∵AB∥CD，∴EH∥CD，
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∴∠E=∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分线，
∴∠AME=∠AMF，
∴∠E=∠AMF+∠CNE=×50°+40°=65°；
同理可得∠F=∠AMF+∠CNE=50°+×40°=70°；
（2）∵∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，
∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠F﹣∠E=∠AMF，
∵∠E+60°=2∠F，即2∠F﹣∠E=60°，
∴∠AMF=60°，
∴∠AMF=40°；
（3）与
（1）的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，
而∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，
∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE=（∠E+∠F），
∴∠MON=（∠E+∠F）．
22、
（1）2，4，6；
（2）4×16=64，
log24+log216=2+4=6=log264；
（3）设logaM=x，那么有ax=M，又设logaN=y，那么有ay=M，
故logaM+logaN=x+y而ax+y=axay=MN，
根据对数的定义化成对数式为x+y=logaMN，
∴logaM+logaN=logaMN．
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