导数与微分练习题答案Word下载.docx
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f（x）在x处可导，a,b为常数，则
f（xa：
x）-f（xb：
x）
f（x）
（B）（ab）f（x）
（C）（a-b）f（x）
2f（X）
3.函数在点X。
处连续是在该点
X。
处可导的条件
（A）充分但不是必要要
（B）
必要但不是充分（C）充分必要
即非充分也非必
2
4•设曲线y=x•x-2在点
M处的切线斜率为3,则点M的坐标为
（A）（0,1）
（B）（1,0）
（C）（0,0）
（D）（1,1）
5.设函数f（x）=|sinx|，则
f（x）在x=0处[
（A）不连续。
（B）连续，但不可导。
（C）可导，但不连续。
（D）可导，且导数也连续。
•2x
XV1
三、设函数f（X）=丿
为了使函数f（x）在x=1处连续且可导，a
ax+b
x>
么值。
b应取什
角军：
由于f（x）在x=1处连续,所以f（1-）=1二f（「）=a•b二f
（1）即a■b=1
又f（x）在x=1处可导，所以
f（iriim—=2
J1_x_1
有
故求得
jaxb-（ab）
f*1）=lim=a
x_1
a=2，b=Ta=2，b=T
四、如果
f（x）为偶函数，且f（0）存在，证明f（0）=0。
解:
由于f（X）是偶函数，所以有f（x）=f（-x）
f（or呵
=lim
x）0
f（x）-f（0）
x-0
f（-x）-f（0）
f（t）-f（0）
_t
—f（0）
2f（0）=0，故
五、
证明：
双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为
A=1•丝・2x=2a2，（a是已知常数）2Xo
故其值为定值•
第二节求导法则
一、填空题
1.y=（2secx）sinx,
y=tanx2cosx1
.sinx
y=—cosxe
2.y=cos（2ex）,y=-2exsin（2ex）；
3P=Intan—,P"
=cs旳；
2
4.w=ln（secttant）,w=sect.
sin2x2xcos2x-sin2x
y=，y=—
xx
r=xlog2xIn2,r=log2xlog2e
5.
）=—厂x2
6.
[lntan；
]=;
（In（x
已知y=Ix•n「x（）,则
.已知y=
sinx
则
F
x
y=
（A）
xsin
X「cosx
xcosx「sinx
2x
已
知
y=
1cosx
[
C
]
cosx-1
2cosx1
2cosx-1
3
y=see
A
xx,
esecetan
xe
xtx
（B）secetane
、选择题
4.
[B]
（C）
sinx「xsinx
（D）x
32・
cosx-xsinx
则
2cosx-1
c则
—.xxx,x
（C）tane（D）ecote
1x2
X
JX2
（D）X2-1
y==
Incxo
，t则
y|jt
x-2.L
4
[D
（A）1
-1/2
-2
1-X
y
y-
1X
[B
2x
-2x
（X1）
三、计算下列函数的导数:
=——（1r=）
X*1-X21-X2
J1_x2_x
.1-X2（X•1-X2）
四、设f（x）可导，求下列函数y的导数dy
dx
（1）y=f（e）ef（x）
解：
y'
=f'
（ex）exef（x）
f（ex）ef（x）f'
（x）
=ef（x）[exf'
（ex）f'
（x）f（ex）
⑶y=arctan[f（x）]
寸爲f'
1+f（x）
=f'
1f（x）
⑵y=f（sinx）f（cos2x）
y'
（sinx）2sinxcosx
f'
（cosx）（2cosx（_sinx））
=sin2x（f'
（sin2x）-f'
（cos2x））
⑷y=f（sinx）sin[f（x）]
y=f'
（sinx）cosxcos（f（x））f'
二cosx'
（sinx）f'
（x）cos（f（x））
第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
xy
x—y
2.设r=tanr），贝Ur=-csc^r）
3.
设ln■.x2y2
dycost-sintdxsintcost
1•由方程siny，xey=0所确定的曲线y=y（x）在（o,0）点处的切线斜率为[A]
（A）-
（B）1
2.设
由方程
xy2=2所确定
的隐
函数为
y二y（x）
，则dy
[A]
ydx
（B）dx
（C）-
ydx
2-cosy
（B）2siny
2cosy
2-cosx
4.设由方程丿
a（t-Sint）所确定的函数为y=y（x）y=a（1-cost）
则在
ji
t:
处的导数为
（A）-1
（C）0
5.设由方程x
[y
=In1t2
二arctant
所确定的函数为
y=y（x），则
dy
2t
t.
三、求下列函数的导数
1.x3y3=a3
r3.
x=acost
2.■3.
y=asint
方程两边同时对
x求导，得
3asintcost
'
-3acos21sint
-tant
2」
y，=0
\x
c丄23
3.yxy
yex1=0
xsinx,1-ex
方程
两边同时对x求导
，得
InyInxInsinx—
22
1ln（1-ex）
y2xy33（2y
2•XiX
yyeye0
=l+_cosx+
y2x2sinx4（1-ex）
2xy3yex
13x2y2ex
二xsinx\1-ex（—2cotx-2x
4（1—ex））
四、求曲线丿
\-exsin日+1=0
y—日3—2日=0
在V-0处的切线方程，法线方程
dy=（3二22）d^
dx-exdxsinexcosd）-0
dx=u竺,从而史=（3宀2!
（1去川）
1-esindxecos
t,y"
半
故切线方程为
y=2e（x1）
法线方程为
y八舟（xi）
第四节高阶导数
7•设f（x）=x（x—1）（x—2）…（x—2001），则f（0）=-2001!
.
（A）2Inx
（B）2lnx1
（C）2Inx•2
2.设y=f（u）,
=ex,则d-y
dx2
2x22
（A）ef（u）（B）uf（u）uf（u）（C）ef（u）
D]
（D）2lnx3
[B]
（D）uf（u）uf（u）
3.设y二sin2x则y（n）二
（A）2nlsin[2x（n-1）…]2
（C）2n1sin[2x（n—1）]
4.设y=xex,则y（n）=
（A）ex（xn）
（B）2n」cos[2x（n-1）]2
（D）2nsin[2x（n-1）]
x,、—X,、nx
（B）e（x-n）（C）2e（xn）（D）xe
、设f“（x）存在，求下列函数
y的二阶导数
d2ydx2
1.y=f（ex）
凹=f'
（ex）exdx
学二f'
（ex）e2xf'
（ex）ex
dx
dyf'
（x）f（x）[f'
（x）]
dx[f（x）]
y…（2x-3）2
依此类推，得
bcostb
ycott
-asinta
d2yb1b
2（COtt）23~
dxa-asint-asint
2.arctany=In..x2y2
方程两边同时对x求导，得
x-y二xyy
（1y）X-y-）x（y
x—y
（x-y）2
第五节函数的微分
已知y=x2-x，计算在x=2处
（1）当叹二0.1时，y=0.31，dy=0.3
（2）当x=0.001时，y=0.003001,dy=0.003。
兀21
f（x）二J1
21
（1）函数y希cse—x在---处的一次近似式为
（2）函数y=e^cosd_1）在x=0处的一次近似式为f（x）：
••cos1-（cos1-sin1）x
（3）计算近似值--「83：
“3—
54
三.填空（求函数的微分）
1、d（2v2sinv）=（“si"
cos）d=
2、d（ln（cos.x））=-tanxd.x
3、d（ln（1-x））=ln（4-x）dx
x—1
4、d（lnsecxtanx）=（tanxsecx）dx
xcosx-sin
2x3-
X22
（7）.ed（x）=d（
（8）cos（2x）dx=d（】sin（2x）c
（9）.—1—2dx=d（arcsinJi—x2
Inx,Inx
（10）.dx=d（c）;
x2
五•求下列函数或隐函数的微分
（1）.
—厂1，求dy
ab
对方程两边求微分得
xdx
2~a
b2
⑵.
所以
b2xdxdy—ay
y=xarctany，求dy
dy"
x卑
4+y2
所以dy=xiM[coslnxdx
2.y<
n[f（x）]
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