3.各位上的数字相同的正整数记法：
例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴＝10n-1
＝，＝，＝
4解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
乙例题
例1.一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：
设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x，新六位数为10x＋1，
根据题意，得 10x＋1＝3（1×105＋x） 7x=299999x=42857
∴原六位数是142857
例2.设n为正整数，计算×＋1
解：
原数＝（10 n–1）×（10 n–1）+1×10n+10n－1
＝102n－2×10n+1+10n+10n－1
＝102n
例3.试证明12，1122，111222，……，这些数都是两个相邻的正整数的积
证明：
12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334
注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1）
由经验归纳法，得
＝×10n+
＝（＋）
＝（
上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积
例4.试证明：
任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。
并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。
证明：
设一个四位数为103a+102b+10c+d,根据题意得
a+b+c+d=9k（k为正整数），∴d=9k－a－b－c,代入原四位数，得
103a+102b+10c＋9k－a－b－c＝（103－1）a+（102-1）b+9c+9k
=9（111a+11b+c+k）
∵111a+11b+c+k是整数，
∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
推广到n位正整数：
n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an
（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k（k是正整数）
∴an=9k－a1－a2－…－an-1 代入
（1）得
原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1
＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k
∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示，，…9
∴原数＝9（a1＋a2＋…＋an+k）
∴这个n位正整数必能被9整除
例5.已知：
有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。
求：
这个三位数。
解：
设这个三位数为102a+10b+c其中0＜a≤9,0≤b,c≤9
＝9a＋b＋且－8≤a-b+c≤18
∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。
①当a-b+c＝11时，商是9a+b+1,
根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1a只能是1，c=9,
b=a+c-11=-1不合题意
②当a-b+c＝0时，商是9a+b
9a+b=a+b+c且a-b+c＝11
解得 答这个数是198
例6.一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。
解：
∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877,∴可知它们都是四位数
设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,
根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案
abc（c-2）从个位看（c-2）+a=7或17
+）（c-2）cba从千位看a+（c-2）=8（没进入万位）
8877可知（c-2）+a=7即c+a=9
（1）从十位上看b+c=7或17
从百位上看c+b=8（进入千位）
可知c+b=17
（2）
（2）+
（1）得b-a=8
∵0∴a=1,b=9,c=8，c-2=6答这个正整数是1986
丙练习25
1.设a是个两位数，b是三位数。
当a接在b的左边时，这个五位数应记作_____，当a接在b的右边时，这个五位数应记作_____。
2.有大小两个两位数。
大数的2倍与小数的3倍的和是72。
在大数的右边写上一个0再接着写小数，得到第一个五位数；在小数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。
已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。
求这两个两位数。
3.计算：
1987×19861986－1986×19871987
4.一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。
求原22位数。
5.试证明：
11－2， 1111－22， －，各数都能写成某个正整数的平方。
（即证明各数都是完全平方数）
6.一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。
求符合条件的所有两位数。
7.已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有×6＝
求原六位数
8.已知四位数除以9得四位数，求原四位数。
9.一个五位正奇数x，将x中的所有2都 换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y，若x,yI满足等式：
y=2（x+1）,那么x=________（1987年全国初中数学联赛题）
10.已知存在正整数n能使数被1987整除，
求证：
p=能被1987整除
（1987年全国初中数学联赛题）
11.一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。
求符合条件的所有三位数。
（1988年全国初中数学联赛题）
12.一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。
求这个三位数。
13.求证：
是一个合数。
返回目录 参考答案 上一页 下一页
69
升级会员 