高考数学总复习基础知识与典型例题04三角函数.doc
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数学基础知识与典型例题
第四章三角函数
三角函数相关知识关系表
角的概念
1.①与（0°≤<360°）终边相同的角的集合
（角与角的终边重合）:
;
②终边在x轴上的角的集合:
;
③终边在y轴上的角的集合：
;
④终边在坐标轴上的角的集合：
.
2.角度与弧度的互换关系：
360°=2180°=
1°=0.017451=57.30°=57°18′
注意：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下，扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。
例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为（）
例2.已知为第三象限角,则所在的象限是（）
（A）第一或第二象限
（B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限
（D）第二或第四象限
三角函数的定义
1.三角函数定义:
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，
则，，，。
注:
⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:
①诱导公式：
即或
之间函数值关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；如
②同角三角函数关系式：
平方关系，倒数关系，商数关系.
⑶重视用定义解题.
⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆
2.各象限角的各种三角函数值符号:
一全二正弦,三切四余弦
（纵坐标y的符号）（横坐标x的符号）
例3.已知角a的终边经过P（4,-3）,求2sina+cosa的值.
例4.若是第三象限角,且,
则是（）
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
例5.
若
的终边所在象限是（）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
三角函数公式
三角函数的公式：
（一）基本关系
公式组二（）
公式组三
公式组四公式组五
公式组六
（二）两角和与差公式
公式组一
公式组二:
公式组三
,,,
常用数据:
的三角函数值
例6.化简：
例7.已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于（）
（A）
（B）或
（C）或
（D）
例8.的值是（）
（A）2（B）2+
（C）4（D）
三角函数公式
注:
⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.
如
等.
从而可做到:
正用、逆用、变形用自如使用各公式.
⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.
⑶三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换：
特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。
如分拆项：
;
配凑角（常用角变换）:
、、
、、
等.
③降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
④化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函
数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
例9.设,若则=（）
（A）（B）
（C）（D）4
例10.
（）
例11.求下列各式的值：
⑴;
⑵tan17°+tan28°+tan17°tan28°
例12.已知为锐角，且，求的值.
三角函数公式
例13.已知α为第二象限角，且sinα=求的值.
例14.已知，
（1）求的值；
（2）求的值
例15.已知,
三角函数公式
例16.已知，求
例17.已知锐角a,b满足cosa=,cos（a+b）=,求cosb.
例18.已知，，tana=，tanb=，求2a+b.
例19.在△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）
（A）（B）（C）（D）
例20.若关于x的方程2cos2（p+x）-sinx+a=0有实根，求实数a的取值范围。
三角函数
三角函数的性质:
（A、＞0）
定义域
R
R
R
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
当非奇非偶,当奇函数
单调性
上为增函数；
上为减函数.
（）
上为增函数;
上为减函数.
（）
上为增函数；
上为减函数（）
三角函数
定义域
值域
R
R
周期性
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
上为增函数（）
上为减函数（）
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.
函数的图像和性质以函数为基础,通过图像变换来把握.如①②（A>0,>0）相应地，
①的单调增区间
的解集是②的增区间.
注:
⑴或（）的周期;
⑵的对称轴方程是（），对称中心；
的对称轴方程是（），对称中心；
的对称中心（）.
三角函数
例21.下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（）
（A）y=lgx2 （B）y=|sinx| （C）y=cosx（D）y=
例22.函数的最小正周期是（）
（A）（B）（C）（D）
例23.函数为增函数的区间是（）
（A） （B） （C） （D）
例24．函数的最小值是（）
三角函数
例25.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度
例26.若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（）
（A）（B）（C）（D）
例27.函数的最小正周期是_____.
例28．将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是__________________.
例29.函数在区间[]的最小值为______.
例30.函数的最大值等于.
例31.已知，求函数的值域
例32.已知函数
⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.
三角函数
例33.已知f（x）=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）
⑴求f（x）的最小正周期；⑵求f（x）单调区间；
⑶求f（x）图象的对称轴，对称中心。
例34.求函数f（x）=的单调递增区间
反三角函数
反三角函数符号的运用:
、、
注意：
反三角数符号只表示这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.
例35．适合的角是（）
例36.求的值.
数学基础知识与典型例题（第四章三角函数）答案
例1.C例2.D例3.由定义：
sina=-,cosa=,∴2sina+cosa=-
例4.B解：
∵,∴,则是第二或第四象限角,又∵,∴,则是第二或第三象限角,∴必为第二象限角
例5.D例6.解：
原式
例7.A例8.C例9.B例10.B
例11.解：
⑴原式=;
⑵∵,∴tan17°+tan28°=tan（17°+28°）（1-tan17°tan28°）=1-tan17°tan28°∴原式=1-tan17°tan28°+tan17°tan28°=1
例12.解：
∵,为锐角,∴∴
例13.解：
当为第二象限角，且时，，所以=
例14.解
（1）：
由，解得
（2）
例15.解：
∴⑴
⑵
例16.解:
∵∴,
例17.解：
∵cosa=,∴sina=,又∵cos（a+b）=<0,∴a+b为钝角,∴sin（a+b）=,
∴cosb=cos[（a+b）-a]=cos（a+b）cosa+sin（a+b）sina=（角变换技巧）
例18.解：
∴,又∵tan2a<0，tanb<0,∴，,∴,∴2a+b=
例19.解：
∵C=p-（A+B）,∴cosC=-cos（A+B）又∵AÎ（0,p）,∴sinA=而sinB=,显然sinA>sinB∴A>B,即B必为锐角,∴cosB=,∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
例20.解：
原方程变形为：
2cos2x-sinx+a=0即2-2sin2x-sinx+a=0,∴,∵-1≤sinx≤1,∴；,∴a的取值范围是[]
例21.B例22.C例23.C例24.D例25.B例26.C例27.例28.例29.1例30.
例31.解：
∵,∴,∴,∴函数y的值域是
例32.解
（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴函数定义域为，k∈Z∵∴当x∈时，∴∴∴函数值域为[）（3）∵定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴不具备奇偶性
（4）∵f（x+2π）=f（x）∴函数f（x）最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号
例33.
（1）T=π
（2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+
（3）对称中心（，0），对称轴，k∈Z
例34.解：
∵f（x）=令,∴y=,t是x的增函数,又∵0<<1,∴当y=为单调递增时,cost为单调递减且cost>0,∴2kp≤t<2kp+（kÎZ）,∴2kp≤<2k
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