任意角地概念与弧度制教案设计.docx
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任意角地概念与弧度制教案设计
课
程
数学
第7章
第7.1.1节任意角的概念
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念.能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相冋的角；
（3）培养观察能力和计算技能.
教学重点
和难点
重点：
终边相同角的概念.
难点：
终边相冋角的表示和确疋.
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）以丰富的生活实例为引例，引入学习新概念一一角的推广；
（2）在演示一一观察一一思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习一一讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法.
教学备品
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*揭示课题
7.1任意角的概念与弧度制
*创设情景兴趣导入问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小
华两人冋时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈•那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？
问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到
OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一
周的过程中，就形成了0。
至U360。
之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角•如果用扳手旋紧螺母，就需将扳
手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角.
归纟纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°:
360。
范围的
角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的
介绍
质疑
提问
说明
了解
思考
求解
讨论
交流
利用实际问题引起学生的好奇心和求知欲
生活实例有助于学生理解角的推
10
概念进行推广.
*动脑思考探索新知
概念
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点0,按逆时针
（或顺时针）方向旋转到另一位置0B就形成角.旋转开始
位置的射线0A叫角的始边，终止位置的射线0B叫做角的终边，端点0叫做角的顶点.
规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图
（1））,
教师学生教学
行为行为意图
总结
理解
广的
意义
说明
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图
（2））•当射线
仔细没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角.
分析
讲解关键占
八、、
引导
思考
理解
记忆
（1）
（2）
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
强调
明确
角.
表示
结合图形讲解角的
图形可以加入学生的举例
明确角的类型完成角的推广
除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“/AOB”或“/O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、L来
表示角.
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角•将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）.
如图所示，30°>390°、-330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，-120°是第三象限的角，-60°>300°都是第四象限的角.
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°>180
270°>360°、-90°、-270°角等都是界限角.
*运用知识强化练习
练习7-1
1•在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象
限的角：
⑴60°;⑵-210
⑶225
⑷-300
教师
行为
引导
展示
强调
提问
巡视
指导
学生
行为
领会
观察
理解
思考
动手求解交流
教学意图象限角可以引导学生一步步自然得出
强调特殊情况
反馈学习状态巩固知识
30
40
教
学
教师
学生
教学
时
过
程
行为
行为
意图
间
*动手操作实验观察
用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，
演示
动手
将另一根先转动到0B的位置
然后再按照顺时针方向或逆时
操作
操作
针方向转动，观察木条重复转到
OB的位置时所形成角的特征.
由具
*问题引导实践探究
体的
问题
质疑
思考
问题
在直角坐标系中作出390
°、-330°和30°角，这些角的终
实际
边有何关系？
提问
求解
操作
探究
引导
390°30°+1X360°;
-330°=30°（-1）X360°.
学生
即390°、-330°与30°
角之差都是360°角的整数倍数，
引导
领会
一步
它们是射线绕坐标原点旋转到
30°角的终边位置后，分别继续
步的
按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角.
体会
推广
终边
与30°角终边相同的角还有：
分析
理解
相同
750°30°+2X360°;
-690°30°（-2）X360°;
角的
1110°=30°+3X360°;
-1050°30°（-3）X360°;
含义
自然
所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差
讲解
得出
都恰好为360°的整数倍数•它们（包括30°角）都可以表示为
结论
30°k360°kZ）的形式.
因此，与30°角终边相同的角
明确
的集合为S{130°
k360°,kZ}.
总结
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
50
*动脑思考探索新知
一般地，与角终边相同的角（包括角
在内），都可以
说明
理解
强调
“.八r、厶匚计「、•
概念
衣示为k360（kZ）的形式.
与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
的关
S{Ik360°,kZ}.
强调
记忆
键点
55
*巩固知识典型例题
例1
写出与下列各角终边相冋的角的集合，并把其中在-
360
T20°内的角写出来：
⑴60°;
⑵-114°26'.
质疑
观察
安排
分析
首先要写出与已知角终边相冋的角的集合
S,然后选取
与知
整数
k的值，使得k360°在指定的范围内.
识点
解
⑴与60°角终边相同的角的集合是
说明
思考
对应
{I60°k360°,kZ}.
的例
当
1k1时，60°
（1）360°300°;
当k0时，
题巩
60o
0360°60°;当k1时，60°1360
°420°.所以在
固新
-360°-720°之间与60。
角终边相同的角为
300°、60°和
讲解
主动
知
求解
420°
⑵与-114°26'角终边相同的角的集合是
S{|114°26k360°,k
Z}.
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
当k0时，114°260360°114°26;
说明
思考
计算
当k1时，114°261360°245°34;
部分
可以
当k2时，114°262360°605°34.
教给
所以在-360°-720°之间与114°26角终边相同的角为
引领
理解
学生
114°26、245°34和605°34.
完成
例2写出终边在y轴上的角的集合.
分析在0°£60°范围内，终边在y轴正半轴上的角为90°,
终边在y轴负半轴上的角为270，因此，终边在y轴正半轴、
负半轴上所有的角分别是
利用
k360902k18090,
分析
领会
观察
k360270（2k1）18090,
图像
其中kZ•⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°;
（2）
加强
式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°可以将它们合并为
总结
求解
问题
180°的整数倍再加上90°.
的理
解终边在y轴上的角的集合是
解
S{|n180°90°,nZ}.
当n取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；当n取奇数时，
讲解
理解
角的终边在y轴负半轴上.
强调
规范
引领
明确
写法
教
学
教师
学生
教学
时
过
程
行为
行为
意图
间
70
*运用知识强化练习
教材练习5.1.2
1.在0°£60°范围内，找出与下列各角终边相同的角,
并指
提问
思考
及时
出它们是哪个象限的角：
了解
巡视
动手
学生
⑴405°；⑵165°；
⑶1563°;⑷
5421°.
求解
知识
2.写出与下列各角终边相冋的角的集合，并把其中在-
掌握
360°-360°范围内的角写出来：
情况
⑴45°;⑵-55°;
⑶-220°5⑷
1330°.
指导
交流
80
*归纳小结强化思想
培养
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
引导
回忆
学生
总结
*自我反思目标检测
反思
本次课采用了怎样的学习方法？
提问
反思
学习
你是如何进行学习的？
交流
过程
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
你的学习效果如何？
能力
85
*继续探索活动探究
⑴读书部分：
教材章节7.1.1；
⑵书面作业：
；练习7.1；
说明
记录
（3）实践调查：
生活中角的概念的推广实例.
90
课
程
数学
第7章
第7.1.2节弧度制
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴理解弧度制的概念；
⑵理解角度制与弧度制的换算关系.
能力目标：
（1）会进行角度制与弧度制的换算；
（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；
（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能.
教学重点
和难点
重点：
弧度制的概念，弧度与角度的换算.难点：
弧度制的概念.
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）由问题引入弧度制的概念；
（2）通过观察一一探究，明晰弧度制与角度制的换算关系；
（3）在练习一一讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能；
（4）在操作一一实践中，培养计算工具使用技能；
（5）结合实例了解知识的应用.
教学备品
教学课件
【教学过程】
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
*揭示课题
72.2弧度制
介绍
了解
*回顾知识复习导入
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
问题
利用
角是如何度量的？
角的单位是什么？
质疑
思考
复习
解决
角度
1
将圆周的一圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°,
360
制为
1度等于60分（1-60',）1分等于60秒（1=60〃）
引领
明确
新知
以度为单位来度量角的单位制叫做角度制.
识的
扩展
学习
计算：
23°35'26〃+31
°0'43”
做好
角度制下，计算两个角的加、
减运算时，经常会带来单位
思考
铺垫
换算上的麻烦.能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运
讲解
了解
算像
10进位制数的加、减运算那样简单呢？
说明
5
*动脑思考探索新知
概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作
说明
理解
1弧度或1rad.以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
弧度
概念
较为
记忆
抽象
讲解
若圆的半径为r,圆心角ZAOB所对的圆弧长为2r,那么
时注
2r
ZAOB的大小就是空弧度
r
2弧度.
举例
重分
规定：
正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，零角
析关
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
的弧度数为零.
键点
分析
弧长
由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长1与半径
与角
r的比，即||-（rad）.
11r
的对
仔细
领会
应关
半径为r的圆的周长为2n，故周角的弧度数为
2n
分析
系
（rad）2n「ad）•
r
讲解
由此得到两种单位制之间的换算关系：
关键
360°2nrad，即180°nrad•
占
八、、
强调
换算公式
换算
on
1=——（rad）0.01745rad180
的方
180
1rad（——）57.35718•
n
归纳
法引
说明
明确
领学
生加
1.用弧度制表示角的大小时，在不至于产生误解的情况
下，通常可以省略单位"弧度”或“rad”的书写.例如，1rad,
强记
nn
2rad,-rad，可以分别写作1,2,-.
忆
22
2.采用弧度制以后，每一个角都对应唯一的一个实数；
反之，每一个实数都对应唯一的一个角.于是，在角的集合与
简单
说明
实数集之间，建立起了对应的关系.
强调
对应
说明
了解
关系
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
20
*巩固知识典型例题
例1
把下列各角度换算为弧度
（精确到0.001）:
⑴15°；⑵8°0
⑶-100°.
说明
思考
利用
分析
角度制换算为弧度制利用公式1°—（rad）0.01745rad•
180
例题
解
⑴1515nn0.262；
18012
强调
理解
强化
换算
⑵8308.58.5—
180
1120.148；
360
公式
n5
⑶100100———
1809
-1.745.
方法
例2
把下列各弧度换算为角度（精确到1'：
讲解
求解
⑴3n；⑵2.1
5
;⑶-3.5.
分析
弧度制换算角度制利用公式1rad（^80）57.35718-
计算
n
方面
解
⑴3n3n180108°;
55n
分析
领会
可由
①180378
⑵2.12.1————
nn
12019；
学生
⑶-3.53.5型
冗
630
20032.
冗
自我
引领
计算
主动
完成
求解
30
*运用知识强化练习
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
教材练习5.2.1
1.把下列各角从角度化为弧度
（口答）
:
及时
提问
思考
了解
180°；90°；
45°
;
15°
学生
60°；30°；
120°
270
o
知识
2.把下列各角从弧度化为角度
（口答）
:
掌握
n
n
n
n;一;
2
4-
;
8
情况
2n；n；
n
n
巡视
动手
33
6
12
3.把下列各角从角度化为弧度
求解
⑴75°;⑵-240°;
⑶
105°;
⑷67°0
纠错
4.把下列各角从弧度化为角度
答疑
⑴—;⑵匕；
⑶
4n
⑷6n.
155
3
指导
交流
40
*自我探索使用工具
培养
准备计算器.
质疑
小组
使用
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，
小组完成
讨论
计算
计算器弧度与角度转换的方法.
巡视
探究
器能
利用计算器，验证计算例题
1与例题2.
汇总
力
50
*巩固知识典型例题
例3某机械米用带传动，由发动机的王动轴带看丄作机的从
教师学生
行为行为
动轮转动.设主动轮A的直径为100mm，从动轮B的直径
为280mm.问：
主动轮A旋转360°，从动轮B旋转的角是质疑
多少？
（精确到1'）
解主动轮A旋转360。
就是一周,
所以，传动带转过的长度为nX100=100n（mm）.
再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过100冗（mm）
的长度，那么，应用公式
1005
1407
说明
-，从动轮B转过的角就等于
r
128°34‘.
5
答从动轮旋转5n,用角度表示约为128°34'
7
例4如下图，求公路弯道部分AB的长I（精确到0.1m.图中长度单位：
m）.
分析知道圆心角和半径，求弧长时，要首先将圆心角换算为
弧度制.
解60。
角换算为n弧度，因此
3
I|Rn453.1421547.1（m）.
3
答弯道部分AB的长I约为47.1m.
讲解
说明
提问
引领
观察
思考
主动
求解
思考
理解
介绍
讨论
分析
教学时意图间安排实际问题使学生了解弧度制应用
重点分析题目中各数据的处理
计算部分交给学生完成
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
明确
求解
65
*运用知识强化练习
教材练习522
1.填空：
提问
思考
及时
⑴若扇形的半径为10cm，圆心角为60。
，则该扇形的弧长
了解
学生
l，扇形面积S.
知识
⑵已知1°的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是
巡视
动手
掌握
m.
求解
情况
2•自行车行进时，车轮在1min内转过了96圈•若车轮的半
指导
径为0.33m，则自行车1小时前进了多少米（精确到1m）?
交流
80
*归纳小结强化思想
培养
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
引导
回忆
学生
总结
*自我反思目标检测
反思
本次课采用了怎样的学习方法？
提问
反思
学习
你是如何进行学习的？
交流
过程
你的学习效果如何？
能力
85
*继续探索活动探究
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
升级会员 