人教版八年级数学上册 多边形的内角和教案.docx

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人教版八年级数学上册多边形的内角和教案

11．3.2　多边形的内角和

学习目标

1、掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题

2、能推导出多边形内角和计算公式

学习重点：

多边形的内角和以及外角和

学习难点：

用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和

学习过程

一、学前准备

1.你三角形的内角和是多少度吗？

三角形的内角和等于

2.长方形的内角和等于，正方形的内角和等于

一、情境导入

多媒体演示：

清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．

提出问题：

（1）小明是沿着几边形的广场在跑步？

（2）你知道这个多边形的各部分的名称吗？

（3）你会求这个多边形的内角和吗？

导入：

小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？

你知道它们的和吗？

就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．

二、合作探究

探究点一：

多边形的内角和

【类型一】利用内角和求边数

一个多边形的内角和为540°，则它是（　　）

A．四边形B．五边形

C．六边形D．七边形

解析：

熟记多边形的内角和公式（n－2）·180°.设它是n边形，根据题意得（n－2）·180＝540，解得n＝5.故选B.

方法总结：

熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

【类型二】求多边形的内角和

一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为（　　）

A．1620°B．1800°

C．1980°D．以上答案都有可能

解析：

1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.

方法总结：

一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．

【类型三】复杂图形中的角度计算

如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝（　　）

A．450°B．540°

C．630°D．720°

解析：

如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.

方法总结：

本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．

【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数

一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？

他求的是几边形的内角和？

解析：

本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．

解：

设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．

方法总结：

解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．

探究点二：

多边形的外角和

【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数

正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正（　　）

A．八边形B．九边形

C．十边形D．十一边形

解析：

正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.

方法总结：

如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．

【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用

一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是（　　）

A．五边形B．四边形

C．三角形D．不能确定

解析：

设这个多边形的边数为n，则依题意可得（n－2）×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.

方法总结：

熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．

三、板书设计

多边形的内角和与外角和

1．性质：

多边形的内角和等于（n－2）·180°；多边形的外角和等于360°.

2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：

（1）n边形的内角和等于（n－2）·180°（n≥3，n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.

（2）多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.

（3）.正n边形：

正n边形的内角的度数为

，外角的度数为

.

本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：

规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．

当堂清

1.七边形的内角和是（）

A.360°B.720°C.900°D.1260°

2.内角和与外角和相等的多边形一定是（）

A.八边形B.六边形

C.五边形D.四边形

3.正十二边形的每一个外角等于_________.

4.如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____________.

5.一个多边形的每一个外角等于36°，则该多边形的内角和等于__________.

6.在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3，则∠B=_________，∠C=_________，∠D=__________.

7.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°，求n的值.

8.如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，CF平分∠BCD.若AE∥CF，由公式判定AE是否平分∠BAD.说明理由.

参考答案：

1.C2.D3.30°4,.65.1440°6.45°90°135°

7.根据题意有：

3×90+2n=（5-2）×180,得n=135.

8.AE平分∠BAD，理由如下：

因为AE∥CF，所以∠DEA=∠DCF，∠CFB=∠EAB，

又∠DCF=∠BCF，∠BCF+∠BFC=90°，∠DEA+∠DAE=90°，

所以∠DAE=∠BFC=∠EAB.

所以AE平分∠BAD.

11.3.2多边形的内角和

教学目标

知识与技能

1.掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题；

过程与方法

通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力

情感态度价值观

通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质

教学重点

多边形的内角和以及外角和

教学难点

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和

教学准备

学生：

量角器、直尺（三角尺）；教师：

教具（全等四边形四个）。

教学过程（师生活动）

设计理念

创设情境引入新课

1.

（1）你知道三角形的内角和是多少度吗？

【三角形的内角和等于180°】

（2）长方形的内角和等于，正方形的内角和等于

2、你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？

通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题．

利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去

新课教学

1.探索四边形的内角和

学生叙述对四边形内角和的认识．

（如：

通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．

建议：

①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；

③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为360度

A

D

BC

【分成2个三角形180°×2=360°】

【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】

【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】

小结：

借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和

2.你知道五边形的内角和是多少度吗？

AE

B

D

C

AE

O

BD

C

AE

B

D

P

C

3、探索多边形内角和问题

提出阶梯式问题：

（1）你能用刚才类似的方法计算出六边形的内角和吗？

（2）十边形、ｎ边形呢？

结论：

多边形内角和等于（n-2）·180°

鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。

通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想，发展学生的语言表达能力

知识应用

合作探究

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：

四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：

∠B与∠D的关系．

分析：

本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．

例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

已知：

∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．

求：

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：

关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．

这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

多边形的外角和等于360°．

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．

对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

巩固练习

教材24页练习1、2、3.

巩固新知识；

小结与作业

课堂小结

学生回顾本节课所学内容（包括数学思想方法）

本课作业

1.必做题：

2．选做题：