人教版八年级数学上册 多边形的内角和教案.docx

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人教版八年级数学上册多边形的内角和教案

11.3.2 多边形的内角和

学习目标

1、掌握多边形的内角和的计算方法,并能用内角和知识解决一些较简单的问题

2、能推导出多边形内角和计算公式

学习重点:

多边形的内角和以及外角和

学习难点:

用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和

学习过程

一、学前准备

1.你三角形的内角和是多少度吗?

三角形的内角和等于

2.长方形的内角和等于,正方形的内角和等于

一、情境导入

多媒体演示:

清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.

提出问题:

(1)小明是沿着几边形的广场在跑步?

(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗?

(3)你会求这个多边形的内角和吗?

导入:

小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗?

你知道它们的和吗?

就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.

二、合作探究

探究点一:

多边形的内角和

【类型一】利用内角和求边数

一个多边形的内角和为540°,则它是(  )

A.四边形B.五边形

C.六边形D.七边形

解析:

熟记多边形的内角和公式(n-2)·180°.设它是n边形,根据题意得(n-2)·180=540,解得n=5.故选B.

方法总结:

熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

【类型二】求多边形的内角和

一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角和为(  )

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

解析:

1800÷180=10,∴原多边形边数为10+2=12.∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,∴新多边形的边数可能是11,12,13,∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D.

方法总结:

一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.

【类型三】复杂图形中的角度计算

如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(  )

A.450°B.540°

C.630°D.720°

解析:

如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=五边形的内角和=540°,故选B.

方法总结:

本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化思想的优越性.

【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数

一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?

他求的是几边形的内角和?

解析:

本题首先由题意找出不等关系列出不等式,进而求出这一内角的取值范围;然后可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数.

解:

设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,即180°×6+45°<x<180°×7+45°,因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,所以x=180°×7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形.

方法总结:

解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数.

探究点二:

多边形的外角和

【类型一】已知各相等外角的度数,求多边形的边数

正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正(  )

A.八边形B.九边形

C.十边形D.十一边形

解析:

正多边形的边数为360°÷36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C.

方法总结:

如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这个角即可.

【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用

一个多边形的内角和与外角和的和为540°,则它是(  )

A.五边形B.四边形

C.三角形D.不能确定

解析:

设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×180°+360°=540°,解得n=3,∴这个多边形是三角形.故选C.

方法总结:

熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题.

三、板书设计

多边形的内角和与外角和

1.性质:

多边形的内角和等于(n-2)·180°;多边形的外角和等于360°.

2.多边形的边数与内角和、外角和的关系:

(1)n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°.

(2)多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关.

(3).正n边形:

正n边形的内角的度数为

,外角的度数为

.

本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和,再探究多边形的内角和,然后采用完全开放的探究,每步探究先让学生尝试,把学生推到主动位置,放手让学生自己学习,教学过程主要靠学生自己去完成,尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新.要充分体现学生学习的自主性:

规律让学生自主发现,方法让学生自主寻找,思路让学生自主探究,问题让学生自主解决.

当堂清

1.七边形的内角和是()

A.360°B.720°C.900°D.1260°

2.内角和与外角和相等的多边形一定是()

A.八边形B.六边形

C.五边形D.四边形

3.正十二边形的每一个外角等于_________.

4.如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍,那么这个多边形的边数n=____________.

5.一个多边形的每一个外角等于36°,则该多边形的内角和等于__________.

6.在四边形ABCD中,∠A=90°,∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3,则∠B=_________,∠C=_________,∠D=__________.

7.一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于n°,求n的值.

 

8.如图所示,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,CF平分∠BCD.若AE∥CF,由公式判定AE是否平分∠BAD.说明理由.

参考答案:

1.C2.D3.30°4,.65.1440°6.45°90°135°

7.根据题意有:

3×90+2n=(5-2)×180,得n=135.

8.AE平分∠BAD,理由如下:

因为AE∥CF,所以∠DEA=∠DCF,∠CFB=∠EAB,

又∠DCF=∠BCF,∠BCF+∠BFC=90°,∠DEA+∠DAE=90°,

所以∠DAE=∠BFC=∠EAB.

所以AE平分∠BAD.

11.3.2多边形的内角和

教学目标

知识与技能

1.掌握多边形的内角和的计算方法,并能用内角和知识解决一些较简单的问题;

过程与方法

通过多边形内角和计算公式的推导,培养学生探索与归纳能力

情感态度价值观

通过学生间交流、探索,进一步激发学生的学习热情,求知欲望,养成良好的数学思维品质

教学重点

多边形的内角和以及外角和

教学难点

如何把多边形转化成三角形,用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和

教学准备

学生:

量角器、直尺(三角尺);教师:

教具(全等四边形四个)。

教学过程(师生活动)

设计理念

创设情境引入新课

1.

(1)你知道三角形的内角和是多少度吗?

【三角形的内角和等于180°】

(2)长方形的内角和等于,正方形的内角和等于

2、你知道任意一个四边形的内角和是多少吗?

通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理,引出课题.

利用学生的好奇心设疑,激发学生的求知欲望,使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去

新课教学

1.探索四边形的内角和

学生叙述对四边形内角和的认识.

(如:

通过测量相加求内角和,通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等).

建议:

①对于学生提出的不同方法加以及时肯定;②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调,并提出是数学学习中的一种常用方法;

③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为360度

A

D

 

BC

【分成2个三角形180°×2=360°】

【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】

【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】

小结:

借助辅助线把四边形分割成几个三角形,利用三角形内角和求得四边形内角和

2.你知道五边形的内角和是多少度吗?

AE

B

D

C

AE

O

BD

C

AE

B

D

P

C

3、探索多边形内角和问题

提出阶梯式问题:

(1)你能用刚才类似的方法计算出六边形的内角和吗?

(2)十边形、n边形呢?

结论:

多边形内角和等于(n-2)·180°

 

鼓励学生寻找多种分割形式,深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。

 

通过增加图形的复杂性,让学生再一次经历转化的过程,加深对转化思想方法的理解,在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想,发展学生的语言表达能力

 

 

知识应用

合作探究

例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

已知:

四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:

∠B与∠D的关系.

分析:

本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A+∠C=180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案.

例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

已知:

∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角.

求:

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

分析:

关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°.

这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.

多边形的外角和等于360°.

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.

对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.

如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

巩固练习

 

教材24页练习1、2、3.

巩固新知识;

小结与作业

课堂小结

学生回顾本节课所学内容(包括数学思想方法)

本课作业

1.必做题:

2.选做题:

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