全国高水平大学华约自主招生选拔学业能力测试数学试题.doc
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湖南省岳阳县第一中学高三数学组yzhgsb②
2011年高水平大学（华约）自主招生选拔学业能力测试
数学试题
分值:
分时量:
分钟
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分）
1.设复数满足且,则=（）
A.B.C.D.
2.在正四棱锥中,分别为的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为.则异面直线与所成角的余弦值为（）
A.B.C.D.
3.过点的直线与曲线相切,且不是切点,则直线的斜率是（）
A.2B.C.D.
4.若,则的最小值和最大值分别为（）
A
B
C
O
O1
O2
A.B.C.D.
5.如图,和外切于点又都和内切,切点分别为
设,则（）
A..B.
C.D.
6.已知异面直线成角,为空间中一点,则过与都成角的平面有且只有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.若向量,则最小值为（）
A.B.C.D.
8.为过抛物线焦点的弦,为坐标原点,且为抛物线准线与轴的交点,则的正切值为（）
A.B.C.D.
A
B
C
E
D
F
9.如图,已知的面积为,分别为边上的点,为线段上一点,设且则面积的最大值为（）
A.B.C.D.
10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些三角形在正11边形内
两两不相交,则（）
A.存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形
B.存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C.存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
二、解答题
11.（本小题满分14分）
已知不是直角三角形.
（1）证明:
;
（2）若,且的倒数成等差数列,求的值.
12.（本小题满分14分）
已知圆柱形水杯质量为克,其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直主放置）,质量为克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯重心还在圆柱轴的中点处.
（1）若,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;
（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?
为什么?
13.（本小题满分14分）
已知函数另
（1）求数列的通项公式;
（2）证明:
.
14.（本小题满分14分）
已知双曲线分别为的左、右焦点,为右支上一点,且使,又的面积为.
（1）求的离心率;
（2）设为的左顶点,为第一象限内上的任意一点,问是否存在常数,使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
15.（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币币连续抛掷次,以表示未出现连续3次正面的概率.
（1）求和;
（2）探究数列的递推公式,并给出证明;
（3）讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.
M
N
O
D
y
C
B
A
P
x
z
参考答案:
一.选择题
1【解】由,得,解得|z|=2（舍）,.
2【解】法一：
如图右,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的
正切为得高为.如图建立坐标系,则A（1,-1,0）,B（1,1,0）,C（-1,1,0）,D（-1,-1,0）,
P（0,0,）,则,.
M
N
D
C
B
A
P
Q
设所成的角为θ,则.
法二:
如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为
得高为.平移DM与AN在一起.即M移到N,D移到CD的中点Q.于
是QN=DM=AN.而PA=PB=AB=2,所以QN=AN=,而AQ=,容易算出等腰ΔAQN的顶角.
3.【解】易知点在曲线上,但题交待其不是切点,故设切点为,则
所以切线方程为,也所以有,
也即,化简得所以,也即
4【解】
A
B
C
O
O1
O2
可见答案是B
5.【解】题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.
我们来转化一下,就可以去掉三个圆,接,C在上,则
如右图所示,由于所以设
同理设,由于三点共线,于是……①
又中,有……②,所以①②联立得.
6.【解】已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系.于是原题简化为：
已知两条相交直线a,b成60°角,求空间中过交点与a,b都成角的直线.答案是4个.
7.【解】由得,
由于,可以用换元法的思想,看成关于三个变量,
答案B
8.【解】法一:
焦点,直线AB方程,与抛物线方程联立,解得,于是
,答案A
法二:
如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:
在直角梯形中,
E
A
B
C
D
F
x
∠BAD=45°,EB∥DA,AF=AD,BF=BC..
.
类似的,有,所以有
也所以有,,答案A
9.【解】连结,则有,,
于是.
注意到,且即,所以由三元均值不等式得
即（当时取等号）
E
F
A
B
C
D
于是.
10.【解】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.
如图,假设ΔABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形ΔDEF（不
妨设在AC的另一边）的（其中的边EF有可能与AC重合）的∠D一
定是钝角.事实上,,而四边形ABCD是圆内接四边形,所
以∠ADC=180°-∠B,所以∠D为钝角.这样就排除了B,C.下面证明
所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC中∠B是钝角,
在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在AC的另一侧的相邻（指
有公共边AC）ΔACD,则∠D=180°-∠B是锐角,这时如果或是钝角,我们用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D.
D
B
A
C
二.解答题
11.【解】
（1）证:
两边取正切,
即,去分母得
（2）依题意,
比较
（1）中结论得
所以,又,
所以,即
将代入,得
解得或.
由于所以或.
12.【解】
（1）设装满半杯水后,水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,则此时水的重心到底面距离与水杯高的比值为,杯子的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,杯中水重克,从而有,解得.
（2）设杯中装入克水时,水杯重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,则此时水的重心到底面距离与水杯高的比值为,水的质量与水杯质量之比为,则
化简得（当且仅当时取等号）
所以当杯中装入克水时,水杯重心最低.
13.【解】
（1）所以得即,所以有.
所以,,令比较系数得.
也所以,
（2）
由均值不等式得,
即
注意到单调递增,且.
y
O
x
P
Q
F1
F2
A
所以.
14.【解】
（1）,如图,在中,
所以即
也所以,,得
所以.
（2）由
（1）,双曲线方程为若轴,此时为等腰.下证
令则
所以存在常数使恒成立.
15.【解】
（1）显然又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:
正正正正或正正正反或反正正正,故.
（2）共分三种情况:
1）如果第n次出现反面,那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
2）如果第n次出现正面,第次出现反面,那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
3）如果第次出现正面,第次出现正面,第次出现反面.那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现三次连续正面的概率是
综上,……①
从而……②
①-②,有.
所以时,单调递减.又,所以时,数列单调递减,且有下界0.
所以的极限存在记为.对两边取极限可得,故.
其统计意义:
当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面向上的概率非常小.
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