第一章 13 第2课时.docx
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第一章13第2课时
新教材第2课时 补 集
学习目标
1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．
知识点 全集与补集
1．全集
（1）定义：
如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
（2）记法：
全集通常记作U.
思考 全集一定是实数集R吗？
答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
预习小测 自我检验
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝______________.
答案 {3,4,5}
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA＝______.
答案 {x|x≥2}
解析 ∵全集为R，A＝{x|x<2}，∴∁UA＝{x|x≥2}．
3．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________.
答案 {1,2,3}
解析 U＝M∪（∁UM）＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．
4．已知全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>0}，则∁U（A∩B）＝________.
答案 {x|x≤0或x>2}
解析 A∩B＝{x|02}．
一、全集与补集
例1
（1）已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
（2）已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.
答案
（1）{2,3,5,7}
（2）{x|x<－3，或x＝5}
解析
（1）方法一 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}．
方法二 借助Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
（2）将集合U和集合A分别表示在数轴上，
如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
反思感悟 求集合补集的基本方法及处理技巧
（1）基本方法：
定义法．
（2）两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
跟踪训练1
（1）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于（ ）
A．{x|0C．{x|0答案 C
解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴∁UA＝{x|0（2）设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则（∁UA）∩（∁UB）＝________.
答案 {x|x是直角三角形}
解析 根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，
所以（∁UA）∩（∁UB）
二、交、并、补的综合运算
例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 如图所示．
∵A＝{x|－2∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
∁UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故（∁UA）∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩（∁UB）＝{x|2∁U（A∪B）＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2 已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U（A∪B），∁U（A∩B），（∁UA）∩（∁UB），（∁UA）∪（∁UB）．
解 方法一 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴∁U（A∪B）＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴∁U（A∩B）＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，
∴（∁UA）∩（∁UB）＝{6,7,9}，
（∁UA）∪（∁UB）＝{1,2,3,4,6,7,9}．
方法二 作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
三、与补集有关的参数的范围问题
例3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解 方法一 （直接法）：
由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
方法二 （集合间的关系）：
由（∁UA）∩B＝∅可知B⊆A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
延伸探究
1．将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以∁UA＝{x|x<－m}，
又（∁UA）∩B＝B，
所以－m≥4，解得m≤－4.
2．将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知A＝{x|x≥－m}，
∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又（∁UB）∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
反思感悟 由集合的补集求解参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
（2）如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|x0}．若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．
解 ∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，
∴要使A∩（∁RB）＝∅，结合数轴分析（如图），
可得a≤－1.
即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（ ）
A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴∁UM＝{3,5,6}．
2．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．{x|0≤x<1}B．{x|0C．{x|x<0}D．{x|x>1}
答案 B
解析 ∁UB＝{x|x≤1}，
所以A∩（∁UB）＝{x|03.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A．{3,4,5}B．{1,3,4}
C．{1,2,5}D．{3,4}
答案 D
解析 由图可知，阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴∁U（M∪N）＝{3,4}．
4．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1}，若A∩（∁RB）≠∅，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a<1}
解析 ∁RB＝{x|x≤1}，
∵A∩（∁RB）≠∅，∴a<1.
5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是____________．
答案 ∁UA∁UB
解析 先求出∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁UA∁UB.
1．知识清单：
（1）全集和补集的概念及运算．
（2）并、交、补集的混合运算．
（3）与补集有关的参数的求解．
2．方法归纳：
正难则反的补集思想、数形结合．
3．常见误区：
求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．
1．设U＝R，A＝{x|－1A．{x|x≤－1，或x>0}B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x<－1，或x≥0}D．{x|x≤－1，或x≥0}
答案 A
2．（2019·全国Ⅰ）已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于（ ）
A．{1,6}B．{1,7}
C．{6,7}D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．{x|x>1}B．{x|x≥1}
C．{x|1答案 D
解析 由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．
4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则（ ）
A．（∁UM）⊇（∁UN）B．M⊆（∁UN）
C．（∁UM）⊆（∁UN）D．M⊇（∁UN）
答案 C
解析 ∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴（∁UM）⊆（∁UN）．
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}
答案 C
解析 ∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪（∁RB）＝R，∴a≥2.
6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则（∁UA）∩B＝________.
答案 {6,8}
解析 ∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．
∴（∁UA）∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
7．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么（∁IM）∩（∁IN）＝________.
答案 ∅
解析 （∁IM）∩（∁IN）＝∁I（M∪N）＝∁II＝∅.
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x答案 2
解析 因为∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．
所以b＝2.
9．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2（1）求A∩B，（∁RB）∪A；
（2）已知C＝{x|a解
（1）显然A∩B＝{x|3≤x<6}．
∵B＝{x|2∴（∁RB）∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
（2）∵C⊆B，如图所示，则有
解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．
10．已知A＝{x|－1（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
解
（1）m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1（2）∁RA＝{x|x≤－1或x>3}，当B＝∅时，即m≥1＋3m得，m≤－
，满足B⊆∁RA，
当B≠∅时，使B⊆∁RA，
即
或
解得m>3，
综上所述，m的取值范围是
.
11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可表示下列图中阴影部分的为（ ）
答案 A
解析 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－（A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
12．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，
则∁U（A∪B）＝{3,5}，共有2个元素．
13．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x2}，则∁R（A∩B）＝________.
答案 {x|x<0，或x>4}
解析 ∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤4}，
∴∁R（A∩B）＝{x|x<0，或x>4}．
14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
答案 m－n
解析 ∵（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：
X*Y＝∁U（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y）*Z等于（ ）
A．（X∪Y）∩∁UZB．（X∩Y）∪∁UZ
C．（∁UX∪∁UY）∩ZD．（∁UX∩∁UY）∪Z
答案 B
解析 依题意得（X*Y）＝∁U（X∩Y），
（X*Y）*Z＝∁U[（X*Y）∩Z]＝∁U[∁U（X∩Y）∩Z]
＝{∁U[∁U（X∩Y）]}∪（∁UZ）＝（X∩Y）∪（∁UZ）．
16．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{（1,3），（1,4），（2,3），（2,4）}，
B×A＝{（3,1），（3,2），（4,1），（4,2）}，
A×A＝{（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）}，
B×B＝{（3,3），（3,4），（4,3），（4,4）}，
据此，试回答下列问题．
（1）已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1,2），（2,2）}，求集合A，B；
（3）A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
解
（1）C×D＝{（a,1），（a,2），（a,3）}．
（2）∵A×B＝{（1,2），（2,2）}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
（3）从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为（m×n）个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12（个）元素．
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