人教版初二数学上册将军饮马问题教学设计Word格式文档下载.docx
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[教学重点]
利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
三、学生学情诊断
最短路径问题从本质上说是最值问题,作为初中生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.
解答:
“当点A、B在直线l的同侧时,如何在l上找点C,使AC与CB的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与l上的点的线段和最小”的问题,为什么需要这样转化,怎样通过轴对称实现转化,一些学生会存在理解和操作方面的困难.
在证明“最短”时,需要在直线上任取一点,证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法,一些学生还想不到.
在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题,需要把它们平移拼接在一起,一些学生想不到.
教学时,教师可以让学生首先思考“直线l的异侧的两点,与l上的点的线段和最小”,给予学生启发,在证明“最短”时,点拨学生要另选一个量,通过与求证的那个量进行比较来证明,同时让学生体会“任意”的作用,因此确定本节课的教学难点为:
[教学难点]
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
四、教学策略分析
建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平,教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式,鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试,在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.
教师的教法:
突出解题方法的引导与启发,注重思维习惯的培养,为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计,增强数学课堂趣味性,相同背景,不同问题,由浅入深、层层递进,有利于学生分析与解决问题,同时利用现代的信息技术,直观地展示图形的变化过程,提高学生学习兴趣与激情.
学生的学法:
突出探究与发现,思考与归纳提升,在动手探究、自主思考、互动交流中,获取知识与能力.
五、教学基本流程
探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考
六、教学过程设计
(一)探索新知
1、建立模型
问题1唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到军营B地,到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
追问1,这是一个实际问题,你打算首先做什么呢?
师生活动:
将A、B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线
追问2,你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学的问题吗?
学生交流讨论,回答并相互补充,最后达成共识:
(1)行走的路线:
从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;
(2)路线全程最短转化为两条线段和最短;
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点,上面的问题转化为:
当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小
[设计意图]从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入,增加学生们的数学底蕴,提高其人文思想.同时引导学生分析题意,画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.
2、解决问题
问题3如图点A、B在直线的异侧,点C位直线l上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?
让学生独立思考、画图分析,并展示
如果学生有困难,教师作如下提示:
(1)如图,如果军营B地在河对岸,点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?
由此受到什么启发呢?
(2)如图,如何将点B“移”到l的另一侧B´
处,且满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB´
的长度相等?
学生在老师的启发引导下,完成作图.
[设计意图]先通过学生对本题的思考尝试,并展示,师生共同纠错,提高认识与辩证思想,再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质,将两点在直线同侧的问题,转化为两点在直线异测的问题,提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力,让学生在思考和解决问题的过程中,提高甄别是非的能力,感悟转化的数学思想.
3、证明“最短”
问题3,为什么这种作法是正确的呢?
你能用所学的知识证明AC+CB最短吗?
分组讨论,教师引导点拨,结合多媒体的演示,师生共同完成证明过程.
证明:
如图,在直线l上任取一点Cˊ.连接AC´
、BC´
、B´
C´
.
由轴对称的性质可知:
BC=B´
CBC´
.=B´
∴AC+BC=AC+B´
C=AB´
AC´
+BC´
=AC´
+B´
当C´
与C不重合时
AB´
<AC´
+C´
B´
∴AC+BC<AC´
B
与C重合时
AC+BC=AC´
总之,AC+BC≤AC´
即AC+BC最短
[设计意图]利用现代信息技术,通过移动点C´
的位置,可发现:
与C不重合时,AC+BC<AC´
B,当C´
与C重合时,AC+BC=AC´
B.让学生很容易知道AC+BC最短,消除了学生的疑虑,发挥了多媒体的作用,让学生进一步体会作法的正确性,提高了逻辑思维能力.
4、小结新知
回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程,借助什么解决问题的?
体现了什么数学思想?
学生回答,并相互补充.
[设计意图]让学生在反思的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想,明确解题的方法与策略,为后面进一步的学习探究做准备.
(二)运用新知
如图,如果将军从指挥部A地出发,先到河边a某一处饮马,再到草地边b某一处牧马,然后来到军营B地,请画出最短路径.
分组讨论,教师点拨,点学生上台操作演示,画出最短路径.
[设计意图]对前面所学的解题方法与思路得以巩固,让学生形成技能,进一步体会感悟数学中的转化思想,点学生上台操作演示,提高他们的学生兴趣与实践能力,体会成功的喜悦,激发他们进一步探究问题的欲望.
(三)拓展新知
已知:
P、Q是△ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗?
1、老师首先解释三角形周长最短的含义,引导学生将实际问题抽象为数学问题,再提出如下问题:
(1)要使释三角形周长最短最短,实际上是使几条线段之和最短?
(2)怎样将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题.
2、分组讨论,师生共同分析.
3、完成作图,体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.
[设计意图]本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编,既增强了课堂教学的趣味性,又完成了教学任务,可谓一举两得.教学由问题引领,老师引导,学生小组合作讨论交流的方式,充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程,让学生学得轻松与愉悦,培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力,在解决问题的过程中,体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.
(四)提炼新知
师生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
1、本节课研究问题的过程是什么?
2、解决上述问题运用了什么知识?
3、在解决问题的过程运用了什么方法?
4、运用上述方法的目的是什么?
体现了什么样的数学思想?
[设计意图]引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时,并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结,让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识,体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值.
(五)课外思考
[设计意图]通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计,由浅入深,环环相扣,不但培养了学生喜欢动脑,敢于提问,勇于探索的求学精神,同时培养学生的问题意识,通过最后这一问题的设计,让学有余力的学生解答,它不仅能巩固知识,形成技能,同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时,也是由课内向课外的一种延伸,预示着问题并没有终结,培养学生具有终身学习的意识与创新精神!