八年级数学勾股定理教学设计 2文档格式.docx

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3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

过程与方法：

经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

情感、态度与价值观：

让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣

教学重点

勾股定理的内容及证明。

教学难点

勾股定理的证明。

教法

合作探究勾股定理

学法

学生互相交流、合作探究的方法来学习勾股定理.

教学准备

多媒体课件网络资源

教学过程

教学札记

第一步：

课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

第二步：

证明新知：

方法一；

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。

S正方形＝C

S正方形＝4ab＋（a－b）

方法二；

已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∵∠AED+∠ADE=90º

∴∠ADE=∠BEC.

∴∠AED+∠BEC=90º

.

∴∠DEC=180º

―90º

=90º

.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

又∵∠DAE=90º

∠EBC=90º

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴

勾股定理的证明方法，达300余种。

请学生利用业余时间探究

第三步：

课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°

，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°

，则∠B的对边和斜边：

⑷三边之间的关系：

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°

；

若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；

若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

第四步：

课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°

，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°

，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

⑴AD2－AB2=BD·

CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

五.布置作业

第69页第1，2，3，4题。

课

后

反

思

八年级数学学科下册第三单元（章）

勾股定理

第2课时

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

勾股定理的简单计算。

勾股定理的灵活运用

探究式教学法

学生互相交流、合作探究

小黑板

复习勾股定理的文字叙述；

勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°

，求a，c。

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°

，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°

，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°

，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°

，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

1．填空题在Rt△ABC，∠C=90°

，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°

，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°

，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°

，CD=1cm，求BC的长。

布置作业

。

p70第5,6,7,8

第3课时

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值

勾股定理的应用

实际问题向数学问题的转化。

学生互相交流、合作探究.

复习巩固：

例：

（1）求出下列直角三角形中未知的边．

应用提高：

①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

图1

（3）教材第76页练习1．

（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

（1）教材第67页练习第2题．

（2）变式：

以教材第67页练习

第2题为背景，请同学们再设计

图2

其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．

（3）如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．

变式：

教材第71页第11题，如图4．

精选精练：

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°

，则江面的宽度为。

3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

5．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°

，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

课后小结：

通过探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．

P68第12题，p71第9.10.11.12题

勾股定理逆定理

第1课时

探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题．

经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用

理解勾股定理的逆定理的推导.

探究式教学法.

一、创设情境，导入课题

【实验观察】

实验方法：

用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°

），可以发现这个三角形是直角三角形．

归纳结论：

勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、研究新知、应用举例：

以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？

如三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？

根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形

（1）a=7,b=24,c=25;

（2）a=

b=1,c=

已知

的三边分别a,b,ca=

b=2mn,c=

（m>

n,m,n是正整数），

是直角三角形吗？

说明理由。

先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。

解：

是直角三角形

例（见课本P83例2）

思路点拨：

首先应根据题意画出图形，（见课本P83图18．2-3）．这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向．

如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，

E为BC上一点，且EC=

BC，求证：

AF⊥EF．

思路点拨：

要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P68“练习”1，2，

四、课堂总结，发展潜能

五.布置作业p75第1.2题

第2课时

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

课堂引入、创设情境

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

应用举例、能力提高：

例1（P83例2）

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×

1.5=18，PQ=16×

1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°

，问：

甲巡逻艇的航向？

参考答案：

1．向正南或正北。

2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2；

3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°

，所以有∠CAB=40°

，航向为北偏东50°

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90五.布置作业

P76第1.2.3.

第3课时

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

应用举例：

例1已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；

⑵三个非负数的和为0，则都为0；

⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；

⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·

BD。

△ABC是直角三角形。

勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·

BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

课后练习：

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

△ABC是等腰三角形。

3．已知：

如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

五