新人教B版必修2高中数学课堂设计123空间中的垂直关系1直线与平面垂直学案Word文档格式.docx
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(2)若AB=BC,求证:
BD⊥面SAC.
点评
(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路.
(2)线面垂直的定义,给出了线面垂直的必备条件,即直线垂直于平面内的所有直线,是直线垂直平面的必要条件.作为直线与平面垂直的判定并不实用.
变式训练1
如图所示,已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:
AH⊥平面BCD.
知识点二 证明线线垂直
例2
如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.
求证:
AE⊥SB,AG⊥SD.
点评 本题的证明过程很具有代表性,即证明线线垂直,可先证线面垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.
变式训练2
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点.
CF⊥AE.
知识点三 直线与平面垂直的性质定理的应用
例3
已知,如图所示,直线a⊥α,直线b⊥β,且AB⊥a,AB⊥b,平面α∩β=c.
AB∥c.
点评 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般依赖于判定定理和性质定理,有时候也可以放到特征几何体(如正方体,长方体,正棱柱等)中,判断它们的位置关系.
变式训练3
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,求证:
EF∥BD1.
1.直线与平面垂直的判定方法:
(1)定义,
(2)判定定理.由直线和平面垂直的判定定理知,把线线垂直关系转化为线面垂直关系.在判定定理中,注意“两条”和“相交直线”的重要性.判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直.(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法.证明时常用的转化关系:
线线垂直
线面垂直.
2.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合,利用垂直关系可判断平行,反过来由平行关系也可判定垂直,即两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
课时作业
一、选择题
1.下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;
④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交D.不垂直也不相交
3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.12B.24C.36D.48
4.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内( )
A.不存在与l垂直的直线
B.存在一条与l垂直的直线
C.存在无数条与l垂直的直线
D.任意一条直线都与l垂直
5.若m、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( )
①
n⊥α;
②
m∥n;
③
m⊥n;
④
n⊥α.
A.1B.2C.3D.4
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6.点P为△ABC所在面外一点,若PA=PB=PC,且PO⊥面ABC,则O为△ABC的________心.
7.已知P是△ABC所在平面外的一点,点P与AB、AC、BC的距离相等,且点P在△ABC上的射影O在△ABC内,则O一定是△ABC的________心.
8.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
三、解答题
9.
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB,PC的中点,PA=AD.
CD⊥PD;
(2)求证:
EF⊥平面PCD.
10.
如图所示,AB是圆O的直径,点C是圆O上的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面,E是VC的中点,D是VA上的点,若DE⊥平面VBC,试确定D点的位置.
【答案解析】
自学导引
1.任意一条直线都垂直 l⊥α 平面α的垂线 直线l的垂面 垂足
2.相交 垂直
3.另一条也垂直于这个平面
4.平行
5.平行
证明
(1)∵SA=SC,D为AC的中点,
∴SD⊥AC,
在Rt△ABC中,则AD=DC=BD.
又SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,∴SD⊥面ABC.
(2)∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.
又由
(1)知SD⊥BD.
∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
变式训练1 证明 取AB中点F,连接CF、DF,
∵AC=BC,∴CF⊥AB.
又∵AD=BD,∴DF⊥AB,
又∵CF∩DF=F,
∴AB⊥平面CDF,∴AB⊥CD.
又BE⊥CD,且AB∩BE=B,
直线CD⊥平面ABE.
∴CD⊥AH.
而AH⊥BE,CD∩BE=E,
∴AH⊥平面BCD.
证明 因为SA⊥平面ABCD,
所以SA⊥BC.
又BC⊥AB,SA∩AB=A,
所以BC⊥平面SAB,
又AE平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,
所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
变式训练2 证明 在平面B1BCC1中,
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点,
∴△BB1E≌△CBF,
∴∠B1BE=∠BCF,
∴∠BCF+∠EBC=90°
,∴CF⊥BE,
又AB⊥平面B1BCC1,CF平面B1BCC1,
∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面EAB.
∴CF⊥AE.
证明 过点B引直线a′∥a,a′与b确定的平面设为γ,因为a′∥a,AB⊥a,
所以AB⊥a′,
又AB⊥b,a′∩b=B,所以AB⊥γ.
因为b⊥β,cβ,所以b⊥c.①
因为a⊥α,cα,所以a⊥c.
又a′∥a,所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ,又AB⊥γ,所以AB∥c.
变式训练3 证明 连接AB1,B1C,B1D1,BD.
∵B1B⊥平面ABCD,
AC平面ABCD,
∴AC⊥B1B.
又AC⊥BD,
BD∩BB1=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
又∵BD1平面BDD1B1
∴AC⊥BD1,同理可证B1C⊥BD1.
∵B1C∩AC=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,
又BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
1.B 2.C
3.C [正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;
正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.]
4.C 5.C
6.外
7.内
解析
如图所示,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影,连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等,且PO⊥平面ABC,所以PD=PE=PF,PO=PO=PO,∠POD=∠POE=∠POF=90°
,
所以OD=OE=OF.因为PO⊥AB,PD⊥AB且PD∩PO=P.所以AB⊥平面POD,所以AB⊥OD.
同理可以证得OF⊥BC,OE⊥AC.
又因为OD=OE=OF,所以点O到三角形三边的距离相等,故O为三角形ABC的内心.
8.∠A1C1B1=90°
如图所示,连接B1C,
由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,
因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,
即只要证AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可.
因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°
等)
9.证明
(1)∵PA⊥底面ABCD,∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中,CD⊥AD,且AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G,连接AG,FG.
又∵G、F分别是PD,PC的中点,
∴GF
CD,
又AE
AE,∴四边形AEFG是平行四边形,
∴AG∥EF.
∵PA=AD,G是PD的中点,∴AG⊥PD,∴EF⊥PD,
∵CD⊥平面PAD,AG平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面PCD.
10.解 ∵AB是底面圆的直径,
C是圆上一动点,∴AC⊥BC.
又VC⊥底面ABC,AC平面ABC,
∴VC⊥AC.又BC∩VC=C,
∴AC⊥平面VBC.又DE⊥平面VBC,
∴直线DE∥AC,又E在平面VAC内,E为VC的中点,∴D点为VA的中点