第2章 221222 第1课时.docx

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第2章221222第1课时

§2.2　等差数列

2.2.1　等差数列的概念

2.2.2　等差数列的通项公式

第1课时　等差数列的概念及通项公式

学习目标　1.理解等差数列的定义，会用定义判断和证明一个数列是否为等差数列.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．

知识点一　等差数列的概念

思考　给出以下三个数列：

（1）0,5,10,15,20；

（2）4,4,4,4，…；

（3）18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

答案　从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．

梳理　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．

知识点二　等差中项的概念

思考　下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

（1）2,4；

（2）－1,5；（3）0,0；（4）a，b.

答案　插入的数分别为3,2,0，.

梳理　如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝.

知识点三　等差数列的通项公式

思考　对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.

试猜想an＝a1＋（　　）×2.

答案　n－1

梳理　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.此公式可用累加法证明．

1．若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（×）

2．任意两个实数都有等差中项．（√）

3．从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列．（√）

4．若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列．（√）

类型一　等差数列的判定与证明

命题角度1　根据前几项判定数列是否为等差数列

例1　判断下列数列是不是等差数列？

（1）9,7,5,3,…,－2n＋11,…；

（2）－1,11,23,35,…,12n－13,…；

（3）1,2,1,2,…；

（4）1,2,4,6,8,10,…；

（5）a,a,a,a,a,….

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

解　由等差数列的定义得

（1），

（2），（5）为等差数列，（3），（4）不是等差数列．

反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数．

跟踪训练1　下列数列是等差数列的是________．（填序号）

①5,5,5,5,5；

②3,7,11,15,19；

③－2，－1,0,2,4,6.

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　①②

命题角度2　用定义证明数列是等差数列

例2　已知数列{an}的通项公式an＝2n＋5.求证{an}是等差数列．

考点　等差数列的判定

题点　证明数列是等差数列

证明　∵an＝2n＋5，

∴an＋1＝2（n＋1）＋5.

∴an＋1－an＝2（n＋1）＋5－（2n＋5）＝2，n∈N*，

∴{an}是公差为2的等差数列．

反思与感悟　为了确保从第二项起，每一项减前一项的差始终是同一个常数．当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时，不宜逐项验证，而需证an＋1－an＝d.

跟踪训练2　在数列{an}中，an＝2n，求证{lnan}为等差数列．

考点　等差数列的判定

题点　证明数列是等差数列

证明　lnan＋1－lnan＝ln＝ln＝ln2.n∈N*，

∴{lnan}是公差为ln2的等差数列．

类型二　等差中项

例3　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

解　∵－1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

∴b＝＝3.

又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.

又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.

∴该数列为－1,1,3,5,7.

反思与感悟　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N*），即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．

跟踪训练3　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.

又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.

两式相加，得m＋n＝6.

所以m和n的等差中项为＝3.

类型三　等差数列通项公式的求法及应用

命题角度1　基本量（a1，d，n，an）知其中三个求其余

例4　在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

解　由题意可得

解得d＝2，a1＝2.

∴an＝2＋（n－1）×2＝2n.

反思与感悟　根据通项公式把已知量和未知量之间的关系列为方程求解的思想方法，称为方程思想．

跟踪训练4　

（1）求等差数列8,5,2，…的第20项；

（2）判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

解　

（1）由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，

由n＝20，得a20＝8＋（20－1）×（－3）＝－49.

（2）由a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）×（－4）＝－4n－1.

由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，

即－401是这个数列的第100项．

命题角度2　等差数列的实际应用

例5　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？

考点　等差数列的应用题

题点　等差数列的应用题

解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．

所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．

令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，

那么当出租车行至14km处时，n＝11，

此时a11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2.

即需要支付车费23.2元．

反思与感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．

跟踪训练5　在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温．

考点　等差数列的应用题

题点　等差数列的应用题

解　用{an}表示自下而上各高度气温组成的数列，

由题意可知，数列{an}为等差数列，设其公差为d.

则a1＝8.5，a5＝－17.5，

由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，

解得d＝－6.5，

∴an＝15－6.5n.

∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，

即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.

1．下列数列不是等差数列的是________．（填序号）

①1,1,1,1,1;②4,7,10,13,16；

③，，1，，；④－3，－2，－1,1,2.

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　④

2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d＝________.

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　－2

解析　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.

3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B＝________.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　60°

解析　因为A，B，C成等差数列，

所以B是A，C的等差中项，

则有A＋C＝2B，

又因为A＋B＋C＝180°，

所以3B＝180°，从而B＝60°.

4．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　52

解析　公差d＝－2－（－5）＝3，a20＝－5＋（20－1）d＝－5＋19×3＝52.

5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________．

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　46

解析　d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋（n－1）d＝1＋（n－1）·（－2），∴n＝46.

1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法：

（1）an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列．

（2）2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列．

（3）an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

2．由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．

一、填空题

1.－1与＋1的等差中项是________．

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　

解析　设等差中项为a，则有a＝＝.

2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101＝______.

考点　等差数列的概念

题点　等差数列概念的理解运用

答案　52

解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.

3．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是________．

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　等差数列公差有关问题

答案　

解析　由等差数列的通项公式，得b＝a＋（4－1）d，

所以d＝.

4．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.

考点　等差数列基本量的计算问题

题点　求等差数列的项

答案　15

解析　设{an}的首项为a1，公差为d，

根据题意得

解得a1＝47，d＝－8.

所以a5＝47＋（5－1）×（－8）＝15.

5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是第______项．

考点　等差数列的通项公式

题点　通项公式的综合应用

答案　8

解析　∵a1＝20，d＝－3，

∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，

∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.

6．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝______.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　39

解析　∵5，x，y，z,21成等差数列，

∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．

∴5＋21＝2y，

∴y＝13，x＋z＝2y＝26，

∴x＋y＋z＝39.

7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则＝________.

考点　等差中项

题点　等差中项及其应用

答案　

解析　∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，

又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，

∴a＝，∴＝.

8．已知在等差数列{an}中，a7