湖南省娄底一中学年高二数学上学期开学考试题.docx
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湖南省娄底一中学年高二数学上学期开学考试题
湖南省娄底一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为
A. 10B. 9C. 8D. 7
2.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是
A.45B.50C.55D.60
3.若函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则
A.B.
C.D.
4.设等差数列的前n项和为，若，，则
A.6B.7C.11D.9
5.在中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则
A.B.C.D.
6.已知在中，，，，那么解此三角形可得
A.一解B.两解
C.无解D.解的个数不确定
7.已知角的终边上有一点，则
A.B.C.D.
8.已知，，，的平均数为10，标准差为2，则，，，的平均数和标准差分别为
A.19和2B.19和3C.19和4D.19和8
9.若是等差数列的前n项和，其首项，，，则使成立的最大自然数n是
A.198B.199C.200D.201
10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为
A.B.C.或D.或
11.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是
A.关于直线对称B.关于点对称
C.最小正周期为D.在上是增函数
12.在数列中，，且，通过求，，，猜想的表达式为
A.B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设平面向量，，，若，则实数__________ ．
14.下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为，那么表中m的值为__________．
x
3
4
5
6
y
m
4
15.__________
16.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.（10）已知向量，满足，，向量，．
若与的夹角为，求的值；
若，求向量与的夹角的值．
18.（12）已知
求的解析式及其最小正周期；
求的单调增区间．
19.（12）设为等差数列的前n项和．已知，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和．
20.（12）中国诗词大会是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数单位：
千人如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．
若将被污损的数字视为中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间单位：
小时与年龄单位：
岁，并制作了对照表如下表所示：
年龄x
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间y
3
4
由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．
参考公式：
，
21.（12）.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
22.（12）已知数列满足，．
证明：
数列为等差数列；
求数列的前n项之和．
娄底一中2020年下学期高二入学考试数学答案
1.【答案】B
解：
由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7，
可以做出每人抽取一个人，
从高三学生中抽取的人数应为．
故选：
B．
2.【答案】B
解：
因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于60分的人数频率为，
所以该班的学生人数是
故选B．
3.【答案】C
解：
由题知，
由得，
又由，得，
所以，
，
故选C．
4.【答案】C
解：
设等差数列的公差为d，
由题意得，
，
和联立得
，，
所以
故选C
5.【答案】A
解：
由已知可得，，
因为E是CD的中点，
所以．
故选A．
6.【答案】B
解：
在中，，，，
由正弦定理可得：
，
或，
，所以两解都满足题意，
故选B．
7.【答案】C
解：
角的终边上有一点，
，
则
．
故选C．
8.【答案】C
解：
，，，的平均数为10，标准差为2，
，，，的平均数为：
，标准差为：
．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：
，
和异号
，，
，，即
，即，
，
在连续相邻的两项中，之后的和都将小于0．
要使成立，取最大自然数，n满足
，此时
10.【答案】D
解：
由 ，
，即，
因为B为三角形的内角，所以
，，
，又在中，
所以B为或 ，
故选D．
11.【答案】D
解：
，
当时，，
函数的图象不关于直线对称，选项A错误；
当时，，
关于点对称，不关于点对称，选项B错误；
的周期，选项C错误；
当时，，
在上是增函数，选项D正确．
故选D．
12.【答案】C
解：
由，，
得，即，
，，
即，，
由此猜想．
故选C．
13.【答案】
解：
，，，
，
，
，
解得．
故答案为．
14.【答案】3
解：
，，
又回归直线必过样本点的中心，所以，所以．
15.【答案】
16.【答案】
解：
由已知得，，
因为D、E、F三点重合，所以，，
则在中，由余弦定理可得，
所以，
则在中，由余弦定理得，
故答案为：
．
17.【答案】解：
．
．
．
，，
即
．
，又
．
18.【答案】解：
，，
，
，
函数的最小正周期
令，，
则，，
所以单调增区间为．
19.【答案】解：
设等差数列的公差为d，首项为
由题意可得，
解得，
所以的通项公式为．
由得，
从而．
20.【答案】解：
设污损的数字为x，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
，
，即，
；
，，
，
又，
，
，
，
，
时，．
答：
年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时．
21.【答案】解：
详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，
.
22.【答案】解：
依题意，，也即，
因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
由知，
所以，
因此，
两边同乘以2得：
，
两式相减得：
，
因此．
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