中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题).doc

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（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；

（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．

解答：

解：

（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，

∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．

（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，

∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）

∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD．

∵OA=5，AC=10，

∴OC===．∵S△OAC=OC•AD=OA•AC，∴AD=．∴AA′=，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，

∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°，

∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．∴，即．

∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4），

当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A′在该抛物线上．

（3）存在．理由：

设直线CA′的解析式为y=kx+b，

则，解得∴直线CA′的解析式为y=x+…（9分）

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．

∵PM∥AC，

∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，

∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．

解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）

当x=2时，y=﹣．

∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．

点评：

本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第

（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．

．（2014•贵州黔西南州,第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

第1题图

分析：

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．

（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•yP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．

（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．

解答：

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，解得，∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有，解得，∴AD解析式：

y=2x+6，

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴S△APE=•PE•yP=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

当x=﹣=﹣时，S取最大值．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，∵（3﹣m）2+（）2=m2，∴m=．

∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，∴P′M=．

在Rt△EMP′中，∵EM==，∴OM=EO﹣EM=，

∴P′（，）．

当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，

∴点P′不在该抛物线上．

点评：

本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．

（2014•攀枝花，第24题12分）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．

（1）请直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？

若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

分析：

（1）令y=ax2﹣8ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；

（2）由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；

（3）△PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得最小值时，△PAC的周长最小．设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；

（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．

解答：

解：

（1）抛物线的解析式为：

y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，∴A（2，0），B（6，0）．

（2）抛物线的解析式为：

y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．

在Rt△COD中，由勾股定理得：

CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；

在Rt△COD中，由勾股定理得：

AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；

在Rt△COD中，由勾股定理得：

DC2+AC2=AD2；

即：

（144a2+36）+（144a2+4）=82，

解得：

a=或a=﹣（舍去），

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣x+．

（3）存在．对称轴为直线：

x=﹣=4．

由

（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，），

连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC′．

设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：

，解得，∴y=x﹣．

当x=4时，y=，∴P（4，）．

过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=，AE=6，

在Rt△AC′E中，由勾股定理得：

AC′==4；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：

AC==4．

∴AC+AC′=4+4．

∴存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），△PAC周长的最小值为4+4．

（4）①当﹣6≤t≤0时，如答图4﹣1所示．

∵直线m平行于y轴，

∴，即，解得：

GH=（6+t）

∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；

②当0＜t≤2时，如答图4﹣2所示．

∵直线m平行于y轴，

∴，即，解得：

GH=﹣t+2．

∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH

=×6×2+（﹣t+2+2）•t

=﹣t2+2t+6．

∴S=．

点评：

本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算．

（2014•山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

分析：

（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．

（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．

（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．

解答：

（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．

（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，∴OC=OF=1，

当x=0时y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴点B、C、D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，

解得k=﹣，

∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．

解得x=2或x=﹣2，

当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，

∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，

∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．

点评：

本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．

（2014年湖北咸宁23．（10分））如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【探究】

（1）填空：

当m=0时，OP=　1　，PH=　1　；当m=4时，OP=　5　，PH=　5　；

【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段