立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题含详细答案解析Word下载.docx

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A．①③⇒②；

①②⇒③

B．①③⇒②；

②③⇒①

C．①②⇒③；

D．①③⇒②；

①②⇒③；

[答案]　A

[解析]　因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，

又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；

因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，

又因为l⊥α，所以n⊥α，

又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.

5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在

A．直线AC上B．直线AB上

C．直线BC上D．△ABC的内部

[解析]　∵∠BAC＝90°

，∴BA⊥AC．

又∵BC1⊥AC，

∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.

∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，

∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．

6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°

角的直线有

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[解析]　如图，和α成30°

角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°

且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

7．（2016·

浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则

A．m∥lB．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

[答案]　C

[解析]　选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；

选项B，只有当m⊥β时，m∥n；

选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；

选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．

8．（2016·

南安一中高一检测）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

[解析]　如图，连接A1C1、BC1、A1B．

∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，

∴MN∥BC1.

又A1C∥AC，

∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．

∵△A1BC1为正三角形，

∴∠A1C1B＝60°

.故选C．

9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为

B．60°

C．90°

D．120°

[解析]　如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°

知A′C＝

.

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝

，且CM⊥BM，AM⊥BM，

∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

∵AC＝1，MC＝MA＝

，∴MC2＋MA2＝AC2，

∴∠CMA＝90°

，故选C．

10．点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为

A．线段B1C

B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段

C．线段BC1

D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段

[解析]　∵AP⊥BD1恒成立，

∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.

∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，

∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．

11．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则

A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜n

C．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n

[解析]　由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.

又a＞b，∴m＞n.

由已知得sinθ＝

，sinφ＝

，而a＞b，

∴sinθ＜sinφ，

又θ，φ∈（0，

），∴θ＜φ.

12．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为

A．KB．H

C．GD．B′

[解析]　应用验证法：

选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．直线l与平面α所成角为30°

，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________.

[答案]　[30°

，90°

]

[解析]　直线l与平面α所成的30°

的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°

14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________.

[答案]　90°

[解析]　因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.

又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，

所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°

15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）.

[答案]　DM⊥PC（或BM⊥PC）

[解析]　连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．

16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.

[答案]　a>

6

[解析]　由题意知：

PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，

所以DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE.

易证△ABE∽△ECD．

设BE＝x，则

＝

，即

∴x2－ax＋9＝0，由Δ>

0，解得a>

6.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）（2016·

江苏）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

[解析]　

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC．

在△ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，

所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.

又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,

A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．

又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F＝A1,所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

18．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点.

（1）求证：

AC⊥BC1；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1；

（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

[解析]　

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．

又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1.

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

（3）∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角．

在△CED中，ED＝

AC1＝

，

CD＝

AB＝

，CE＝

CB1＝2

∴cos∠CED＝

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为

19．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，N是BC的中点，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）求出该几何体的体积；

AN∥平面CME；

（3）求证：

平面BDE⊥平面BCD．

[解析]　

（1）由题意可知，四棱锥B－ACDE中，

平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACDE.

又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，

则四棱锥B－ACDE的体积为

V＝

SACDE·

×

2＝4.

（2）连接MN，则MN∥CD．

∵AE∥CD，∴MN∥AE.

又MN＝AE＝

CD，∴四边形ANME为平行四边形，

∴AN∥EM.

∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，

∴AN∥平面CME.

（3）∵AC＝AB，N是BC的中点，

∴AN⊥BC．

又平面ABC⊥平面BCD．

∴AN⊥平面BCD．

由

（2）知：

AN∥EM，

∴EM⊥平面BCD．

又EM⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD．

20．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（1）请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

[解析]　

（1）点F、G、H的位置如图所示．

（2）平面BEC∥平面ACH.证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCEH为平行四边形，

所以BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理，BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

（3）连接FH交EG于点O，连接BD．

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

所以EG⊥平面BFHD，

又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又EG∩BG＝G，

所以DF⊥平面BEG.

21．（本小题满分12分）（2016·

浙江文）如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°

，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

BF⊥平面ACFD；

（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

[解析]　

（1）延长AD、BE、CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC．

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD．

（2）因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．

在Rt△BFD中，BF＝

，DF＝

∴BD＝

得cos∠BDF＝

所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为

22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2

，∠PAB＝60°

AD⊥平面PAB；

（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

（3）求二面角P－BD－A的正切值．

[解析]　

（1）证明：

在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2

∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PD．

在矩形ABCD中，AD⊥AB．

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．

（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB＝

由

（1）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，

则△PBC是直角三角形，

故tan∠PCB＝

∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为

（3）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.

∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.

又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．

又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．

又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，

∴BD⊥平面PHE.

而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．

由题设可得，PH＝PA·

sin60°

AH＝PA·

cos60°

＝1，BH＝AB－AH＝2，

BD＝

，HE＝

·

BH＝

∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝

∴二面角P－BD－A的正切值为