2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科数学试题.doc

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绝密★启用前试卷类型：

A

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则集合

A．B．C．D．

2．若复数，，则

A．4B．2+iC．2+2iD．3

3．若函数与的定义域均为R，则

A．与均为偶函数B．为奇函数，为偶函数

C．与均为奇函数D．为偶函数．为奇函数

4．已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则

A．35B．33C．3lD．29

5．“”是“一元二次方程有实数解”的

A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件

6．如图1，为正三角形，，，

，则多面体的正视图（也称主视图）是

7．已知随机变量服从正态分布，且，则

A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585

8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。

每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。

在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒

二、填空题：

本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分

（一）必做题（9～13题）

9．函数，的定义域是．

10．若向量，，，满足条件，则．

11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=．

12．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是．

13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为（单位：

吨）．根据图2所示的程序框图，若，且，分别为1，，则输出的结果为． 

图3

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的

圆的两条弦，他们相交于AB的中点P，，

，则＝_________．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）

（）中，曲线与的交点

的极坐标为______________．

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分l4分）

已知函数在时取得最大值4。

（1）求的最小正周期；

（2）求的解析式；

（3）若，求。

17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：

克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。

18．（本小题满分14分）

如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。

（1）证明：

；

（2已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。

另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素。

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.（本小题满分14分）

已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线与交点的轨迹的方程；

（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。

21.（本小题满分14分）

设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为对于平面上给定的不同的两点，,

（1）若点是平面上的点，试证明

（2）在平面上是否存在点，同时满足

①②

若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

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