八年级上册数学典型压轴题专项训练含答案解析Word文档格式.docx
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的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°
,试求此时两舰艇之间的距离.
2.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】第一种情况:
当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°
,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:
△ABC≌△DEF.
第三种情况:
当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?
请直接写出结论:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF.
3.有这样一道题:
把一张顶角为36°
的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?
请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:
如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°
的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;
(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC中,∠B=30°
,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°
,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:
在△ABC中画n条线段,则图中有 个等腰三角形,其中有 个黄金等腰三角形.
.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°
,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:
BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明;
如果不成立,请说明理由;
(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你的结论,无需证明.
6.如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°
,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
7.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:
PD+PE=CF.
小军的证明思路是:
如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:
小俊的证明思路是:
如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:
PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:
PD-PE=CF.
8.在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BC的延长线上.
(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形,连接CE.
①求证:
△ABP≌△ACE.
②∠ECM的度数为 °
.
(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE.则∠ECM的度数为 °
②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE.则∠ECM的度数为 °
(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示∠ECM的度数),并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.
9、如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,过点A作射线AE,过点C作CF⊥AE于点F,过点B作BG⊥AE于点G,连接FD并延长,交BG于点H
(1)求证:
DF=DH;
(2)若∠CFD=120°
,求证:
△DHG为等边三角形.
10、已知两等边△ABC,△DEC有公共的顶点C。
(1)如图①,当D在AC上,E在BC上时,AD与BE之间的数量关系为______________________;
(2)如图②,当B、C、D共线时,连接AD、BE交于M,连接CM,线段BM与线段AM、
CM之间有何数量关系?
试说明理由;
(3)如图③,当B、C、D不共线时,线段BM与线段AM、CM之间的数量关系是_________________。
(不要求证明)。
11、在△ABC中,∠ACB为锐角,动点D(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°
那么
①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________(直接写出结论)
图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°
.点D在线段BC上,那么当∠ACB等于多少度时?
线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并说明理由.
12、如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.
(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)在图1中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;
(3)如图2,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=1/2∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.
参考答案
1、全等三角形的判定与性质;
等边三角形的判定.
分析:
(1)首先证明∠1=∠2,再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH;
(2)首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°
,再由∠BGM=90°
可得∠GHD=60°
,再根据直角三角形的性质可得,HG=
HF,进而得到结论.
解答:
证明:
(1)∵CF⊥AE,BG⊥AE,
∴∠BGF=∠CFG=90°
,
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME,
∵∠GMB=∠CME,
∴∠1=∠2,
∵点D为边BC的中点,
∴DB=CD,
在△BHD和△CED中,
∠1=∠2
DB=CD
∠3=∠4
∴△BHD≌△CED(ASA),
∴DF=DH;
(2)∵∠CFD=120°
,∠CFG=90°
∴∠GFH=30°
∵∠BGM=90°
∴∠GHD=60°
∵△HGF是直角三角形,HD=DF,
∴HG=
HF=DH
∴△DHG为等边三角形.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,关键是掌握全等三角形的判定定理.
2、解:
(1)AD=BE
(2)BM=AM+CM
理由:
在BM上截取BM′=AM,连接CM′
∵△ABC、△CED均为等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即
∠BCE=∠ACD
∴在△BCE和△ACD中
AC=BC
∠BCE=∠ACD
CE=CD
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠1=∠2
∴在△BM′C和△AMC中
BM′=AM
∠1=∠2
BC=AC
∴△BM′C≌△AMC(SAS)
∴∠3=∠4,CM=CM′
∵∠ACB=∠3+∠5=60°
∴∠4+∠5=60°
即∠MM′C=60°
∴△MM′C为等边三角形
∴CM=MM′
∴BM=BM′+MM′=AM+CM
(3)BM=AM+CM
4、