整理第9章 无穷级数Word文档下载推荐.docx

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叫做级数的余项。

3.级数的敛散性举例

【例1】判断级数

的敛散性

【例2】证明级数

收敛，并求其和

【例3】讨论等比级数

【例4】判断级数

【例5】判断级数

的敛散性，若收敛,求其和

二、级数的基本性质

【性质一】设有级数

分别收敛于与，则级数

也收敛，且和为。

据性质二，我们可得到几个有用的结论:

1、若收敛，而发散，则必发散。

2、若、均发散，那么可能收敛，也可有发散。

【性质二】如果级数

收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数

【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。

【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。

注意：

1、如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散。

显然，这是性质四的逆否命题。

2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。

【例6】证明调和级数

是发散的

三、级数收敛的必要条件

【定理】级数收敛的必要条件是。

1.必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。

2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.（逆否命题）

【例7】判断级数

的敛散性

作业：

P365,4（3）,5

（1）,（5）,（7）

第二节正项级数

教学目的与要求：

1.了解正项级数收敛的充要条件；

2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法；

3.掌握正项级数的比值审敛法；

4.掌握p级数的收敛性。

教学重点：

比较审敛法的一般形式和极限形式，比值审敛法，根值审敛法

教学难点：

比较审敛法、比值审敛法定理的证明

教学时数4

教学过程

一．正项级数

1.正项级数的定义

若级数中的各项都是非负的（即），则称级数为正项级数。

2、正项级数收敛的基本定理

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

二．比较审敛法

1、基本审敛法

【比较审敛法】给定两个正项级数、

（1）、若，而收敛，则亦收敛；

（2）、若，而发散，则亦发散。

这里，级数称作级数的比较级数。

总结：

大的收敛，则小的收敛

　　　小的发散，则大的发散

由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式

2.【推论】设为正数，为正整数，、均为正项级数

【例3】讨论级数

的敛散性，其中。

【例6】判断级数

3.【比较审敛法的极限形式】设及为两个正项级数，如果极限

则级数与同时收敛或同时发散。

【极限审敛法】设为正项级数，

（1）、若，则发散；

（2）、若，则收敛。

当n→∞时，可用无穷小un对vn的阶判别∑un敛散性.

【例8】判断级数

【例9】判断级数

【例10】判断级数

【例11】判断级数

【例12】判断级数

三．【比值审敛法】若正项级数适合

则　当时，级数收敛；

当（也包括）时，级数发散；

当时，级数的敛散性不详。

当时，级数可能收敛，也可能发散。

【例13】判断级数

【例14】讨论级数

比值审敛法使用于通项含

的函数

四、【根值审敛法】若正项级数适合

【例15】判断级数

【例16】判断级数

五、判别正项级数敛散性的方法与步骤

必要条件

不满足发散

满足

比值审敛法

比较审敛法，定义法，性质法

根值审敛法

收敛，

发散

【例17】判断级数

【例18】判断级数

【例19】判断级数

【例20】判断级数

【例21】判断级数

五．极限审敛法

（1）、当时，收敛，故收敛；

（2）、当时，发散，故发散；

（3）、

（4）、

【例22】判别级数

的敛散性。

【例23】判别级数

P374：

1

（1）（3）（4）（6）（7），2

（1）

（2）（4）,3

（1）

（2）

第三节任意项级数

1.掌握交错级数及其莱布尼茨定理

2.理解并掌握绝对收敛与条件收敛

教学重点难点莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛

教学时数2

教学内容

一、交错级数及其审敛法

所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下

或

其中均为正数。

【交错级数审敛法】

（又称莱布尼兹定理）

如果交错级数

（1）满足条件

1.

2.

则交错级数

（1）收敛，且收敛和，余项的绝对值。

【例4】试证明交错级数

是收敛的。

二、绝对收敛与条件收敛

设有级数

（2）

其中为任意实数，该级数称为任意项级数。

【定义】

如果级数（3）收敛，则称级数

（2）绝对收敛；

如果级数（3）发散，而级数

（2）收敛，则称级数

（2）条件收敛。

【定理一】如果级数（3）收敛，则级数

（2）亦收敛。

定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。

【例5】判定任意项级数

的收敛性。

【例6】讨论级数的收敛性。

【定理二】如果级数

绝对收敛，其和为，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数

仍绝对收敛，且其和仍为。

【典型例子】交错级数

条件收敛，设它的收敛和为。

练习册第43.44次

第四节幂级数

1.理解函数项级数的概念

2.熟练掌握幂级数的收敛域收敛半径的求法

3.掌握和函数的求法

教学重点与难点

幂级数收敛半径收敛域的求解、和函数的求法　

教学内容

一、函数项级数的一般概念

设有定义在区间上的函数列

由此函数列构成的表达式

称作函数项级数。

对于确定的值，函数项级数

（1）成为常数项级数

（2）

若

（2）收敛，则称点是函数项级数

（1）的收敛点；

若

（2）发散，则称点是函数项级数

（1）的发散点；

函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域。

对于函数项级数收敛域内任意一点，

（1）收敛，其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。

通常称为函数项级数的和函数。

它的定义域就是级数的收敛域，并记

若将函数项级数

（1）的前项之和（即部分和）记作，则在收敛域上有

若把叫做函数项级数的余项（这里在收敛域上），则。

二、幂级数及其收敛域

函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是

（3）

（4）

其中常数称作幂级数系数。

（4）式是幂级数的一般形式，作变量代换可以把它化为（3）的形式。

因此，在下述讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数（3）式作为讨论的对象。

【定理一】

（阿贝尔定理）

若时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；

若时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。

阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构

对于幂级数

若在处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；

若在处发散，则在开区间之外，它亦发散；

这表明，幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。

【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质

❶当时，幂级数绝对收敛；

❷当时，幂级数发散；

❸当时，幂级数可能收敛，也可能发散。

正数通常称作幂级数的收敛半径。

2、幂级数的收敛半径的求法

【定理二】设有幂级数，且

（，是幂级数的相邻两项的系数）

如果❶，则；

❷，则；

❸，则。

【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间

1、

2、

【例2】求函数项级数的收敛域

三幂级数的运算性质

对下述性质，我们均不予以证明

1．加，减运算

设幂级数及的收敛区间分别为与，记，当时，有

2．幂级数和函数的性质

幂级数的和函数在收敛区间内连续。

3．逐项求导

幂级数的和函数在收敛区间内可导，且有

4．逐项求积分

幂级数的和函数在收敛区间内可积，且有

【例3】求数项级数之和。

【例4】求的和函数。

【例5】求的和。

练习册第45.46次

第五节函数的幂级数展开

1.理解泰勒公式

2.会应用泰勒公式将简单的函数展为幂级数

泰勒公式及其应用

教学时数4

一、泰勒级数

如果在处具有任意阶的导数，我们把级数

称之为函数在处的泰勒级数。

它的前项部分和用记之，且

这里：

由上册中介绍的泰勒中值定理，有

当然，这里是拉格朗日余项，且

。

由有

因此，当时，函数的泰勒级数

就是它的另一种精确的表达式。

即

这时，我们称函数

在

处可展开成泰勒级数。

特别地，当

时，

可展开成麦克劳林级数。

将函数

处展开成泰勒级数，可通过变量替换

，化归为函数

在

处的麦克劳林展开。

因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。

表一：

项目基本情况；

【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。

分类具体内容应编写的环境影响评价文件二、函数展开成幂级数

1、直接展开法

将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行

规划编制单位应当在报送审查的环境影响报告书中附具对公众意见采纳与不采纳情况及其理由的说明。

❶求出函数的各阶导数及函数值

二、建设项目环境影响评价

（2）评价范围。

根据评价机构专业特长和工作能力，确定其相应的评价范围。

若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；

另外，故障树分析（☞❆✌）和日本劳动省六阶段安全评价方法可用于定性、定量评价。

❷写出麦克劳林级数

（1）非煤矿矿山的建设项目（注：

对煤矿建设项目有单独特别规定）；

并求其收敛半径。

❸考察当时，拉格朗日余项

建设项目所处环境的敏感性质和敏感程度是确定建设项目环境影响评价类别的重要依据，环境影响评价文件应当就该项目对环境的影响做重点分析。

当时，是否趋向于零。

若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；

若，则函数无法展开成麦克劳林级数。

安全评价的基本原则是具备国家规定资质的安全评价机构科学、公正和合法地自主开展安全评价。

【例1】将函数展开成麦克劳林级数。

【例2】将函数在处展开成幂级数。

2、间接展开法

利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质（如：

加减，逐项求导，逐项求积）将所给函数展开。

【例3】将函数展开成的幂级数。

【例4】将函数展开成的幂级数。

间接展开法的优点：

避免了求高阶导数与余项是否趋于零的讨论；

函数展开式的成立区间同时求得，避免了求幂级数的半径.

（三）安全评价的内容和分类【例5】将函数展开成的幂级数。

练习册第47次