XX中考数学存在性问题复习学案Word格式.docx
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如图,∵∠APB=90°
∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB.
当AE=BF时,PA=PB,
∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°
AE=BF,
∴△PEA≌△PFB.
∴PA=PB.
如图,在Rt△PEc中,cP=x,∠PcE=30°
整理,得x2-12x-8=0,
解得x=6-2&
lt;
0或x=6+2,
∵x=6+2&
gt;
6+6=12,且cD=12,
∴点P在cD的延长线上,这与点P在线段cD上运动相矛盾.
∴不合题意.
综上,不存在满足条件的实数x.
举一反三
.如图,点A,B在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,Bc⊥x轴于点c,Dc=5.
求m,n的值并写出反比例函数的表达式;
连接AB,在线段Dc上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5?
若存在,求出点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
求b的值,求出点P、点B的坐标;
如图,在直线y=x上是否存在点D,使四边形oPBD为平行四边形?
若存在,求出点D的坐标;
若不存在,请说明理由;
在x轴下方的抛物线上是否存在点m,使△AmP≌△AmB?
如果存在,试举例验证你的猜想;
如果不存在,试说明理由.
【小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称——最短路线问题等知识点,还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,难度较大.
类型二 点的存在性问题
直接写出A,D,c三点的坐标;
若点m在抛物线上,使得△mAD的面积与△cAD的面积相等,求点m的坐标;
设点c关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A,B,c,P四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,请求出点P的坐标;
根据抛物线的对称性,可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;
再根据三角形的等面积法,在x轴上方,存在两个点,这两个点分别到x轴的距离等于点c到x轴的距离;
根据梯形定义确定点P,如图所示:
①若Bc∥AP1,确定梯形ABcP1.此时P1与D点重合,即可求得点P1的坐标;
②若AB∥cP2,确定梯形ABcP2.先求出直线cP2的表达式,再联立抛物线与直线表达式求出点P2的坐标.
结论:
存在.
如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意:
①若Bc∥AP1,此时梯形为ABcP1.
由点c关于抛物线对称轴的对称点为B,可知Bc∥x轴,则点P1与点D重合,
∴P1.
∵P1A=6,Bc=2,
∴P1A≠Bc.
∴四边形ABcP1为梯形.
②若AB∥cP2,此时梯形为ABcP2.
∵点A坐标为,点B坐标为,
化简得x2-6x=0,
解得x1=0,x2=6,
∴点P2横坐标为6,代入直线cP2表达式求得纵坐标为6.
∴P2.
∵AB∥cP2,AB≠cP2,
∴四边形ABcP2为梯形.
综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A,B,c,P四点为顶点所构成的四边形为梯形;
点P的坐标为或.
3.已知抛物线c1:
y=a2-2的顶点为A,且经过点B.
求A点的坐标和抛物线c1的表达式;
如图,将抛物线c1向下平移2个单位后得到抛物线c2,且抛物线c2与直线AB相交于c,D两点,求S△oAc∶S△oAD的值;
如图,若过P,Q的直线为l,点E在中抛物线c2对称轴右侧部分运动,直线m过点c和点E.问:
是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?
若存在,求出直线m的表达式;
若不存在,说明理由.
【小结】根据以上分析,我们可以归纳出存在性问题的解决策略:
直接求解法:
存在性问题探索的结果有两种:
一种是存在;
另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入手,逐步试探,求出满足条件的对象,使问题得到解决的解法.假设求解法:
先假设结论存在,再从已知条件和定义,定理,公理出发,进行演绎推理,若得到和题意相容的结论,则假设成立,结论也存在;
否则,假设不成立,结论不存在.反证法是证明否定型存在性问题的主要方法,特别是在无限个候选对象中,证明某种数学对象不存在时,逐一淘汰的方法几乎不能实行,更需要使用反证法.
交于A,B两点,与y轴交于c点.
求抛物线的表达式;
点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBc为等腰三角形时,求点P的坐标;
在直线Ac上是否存在一点Q,使△QBm的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;
2.问题探究
如图,在矩形ABcD中,AB=3,Bc=4,如果Bc边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
如图,在△ABc中,∠ABc=60°
Bc=12,AD是Bc边上的高,E,F分别为边AB,Ac的中点,当AD=6时,Bc边上存在一点Q,使∠EQF=90°
求此时BQ的长;
问题解决
有一山庄,它的平面图为如图的五边形ABcDE,山庄保卫人员想在线段cD上选一点m安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AmB大约为60°
就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°
AB=270m,AE=400m,ED=285m,cD=340m,问在线段cD上是否存在点m,使∠AmB=60°
?
若存在,请求出符合条件的Dm的长,若不存在,请说明理由.
类型二
3.如图,已知☉o上依次有A,B,c,D四个点,=,连接AB,AD,BD,弦AB不经过圆心o,延长AB到E,使BE=AB,连接Ec,F是Ec的中点,连接BF.
若☉o的半径为3,∠DAB=120°
求劣弧的长;
设G是BD的中点,探索:
在☉o上是否存在点P,使得PG=PF,并说明PB与AE的位置关系.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点c,与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为,抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线Bc交于点E.
若点F是直线Bc上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFc的面积为17,若存在,求出点F的坐标;
平行于DE的一条动直线l与直线Bc相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
参考答案
【真题精讲】
存在,设E,则DE=x-1,cE=6-x,
∵AD⊥x轴,Bc⊥x轴,
∴∠ADE=∠BcE=90°
.
连接AE,BE,
所以D点的坐标为.
符合条件的点m存在.验证如下:
过点P作x轴的垂线,垂足为为c,则Pc=2,Ac=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形,只要作∠PAB的平分线交抛物线于m点,连接Pm,Bm,由于Am=Am,∠PAm=∠BAm,AB=AP,可得△AmP≌△AmB.即存在这样的点m,使△AmP≌△AmB.
3.∵抛物线c1为y=a2-2的顶点为A,
∴点A的坐标为.
∵抛物线c1为y=a2-2经过点B,
∴a2-2=-1.
解得a=1.
∴抛物线c1的表达式为y=2-2.
∵抛物线c2是由抛物线c1向下平移2个单位所得,
∴抛物线c2的表达式为y=2-2-2=2-4.
设直线AB的表达式为y=kx+b.
∴c,D.
∴oc=3,oD=3.
过点A作AE⊥x轴,垂足为E,
过点A作AF⊥y轴,垂足为F,如图,
）
∵A,
∴AF=1,AE=2.
∴S△oAc∶S△oAD=∶
=∶
=2.
①t&
0时,如图所示.
∵∠PHc&
∠PQG,∠PHc&
∠QGH,
∴∠PHc≠∠PQG,∠PHc≠∠QGH.
当∠PHc=∠GHQ时,
∵∠PHc+∠GHQ=180°
∴∠PHc=∠GHQ=90°
∵∠PoQ=90°
∴∠HPc=90°
-∠PQo=∠HGQ.
∴△PHc∽△GHQ.
∵∠QPo=∠oGc,
∴tan∠QPo=tan∠oGc.
∴oG=6.
∴点G的坐标为.
设直线m的表达式为y=mx+n,
∵点c,点G在直线m上,
∴E.
此时点E在顶点,符合条件.
∴直线m的表达式为y=-2x-6.
∴tan∠cGo≠tan∠QPo.
∴∠cGo≠∠QPo.
∵∠cGo=∠QGH,
∴∠QGH≠∠QPo.
又∠HQG&
∠QPo,
∴△PHc与△GHQ不相似.
∴符合条件的直线m不存在.
④t&
2时,如图所示.
此时点E在对称轴的右侧.
∵∠PcH&
∠cGo,
∴∠PcH≠∠cGo.
当∠QPc=∠cGo时,
∵∠PHc=∠QHG,∠HPc=∠HGQ,
∴△PcH∽△GQH.
∴符合条件的直线m存在.
∴直线m的表达式为y=2x+6.
综上所述:
存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似,
此时直线m的表达式为y=-2x-6和y=2x+6.
【课后精练】
∴x=0时,y=.
∴c.
解得x=1或x=-3,
∴A,B.
∴Bc==2.
设P,显然PB≠Pc,所以
综上,当△PBc为等腰三角形时,点P的坐标为,,,.
由知Bc=2,Ac=2,AB=4,
所以Bc2+Ac2=AB2,即Bc⊥Ac.
连接Bc并延长至B'
使B'
c=Bc,连接B'
m,交直线Ac于点Q,
∵B,B'
关于直线Ac对称,
∴QB=QB'
∴QB+Qm=QB'
+Qm=mB'
又Bm=2,所以此时△QBm的周长最小.
由B,c,易得B'
设直线mB'
的表达式为y=kx+n,
将m,B'
代入,
2.①作AD的垂直平分线交Bc于点P,如图,
则PA=PD.
∴△PAD是等腰三角形.
∵四边形ABcD是矩形,
∴AB=Dc,∠B=∠c=90°
∵PA=PD,AB=Dc,
∴Rt△ABP≌Rt△DcP.
∴BP=cP.
∵Bc=4,
∴BP=cP=2.
②以点D为圆心,AD为半径画弧,交Bc于点P'
如图,
则DA=DP'
∴△P'
AD是等腰三角形.
∴AD=Bc,AB=Dc,∠c=90°
∵AB=3,Bc=4,
∴Dc=3,DP'
=4.
∴cP'
==.
∴BP'
=4-.
③以点A为圆心,AD为半径画弧,交Bc于点P″,如图,
则AD=AP″.
∴△P″AD是等腰三角形.
同理可得BP″=.
综上所述,在等腰三角形△ADP中,
若PA=PD,则BP=2.
若DP=DA,则BP=4-.
若AP=AD,则BP=.
∵E,F分别为边AB,Ac的中点,
∴EF∥Bc,EF=Bc.
∵Bc=12,
∴EF=6.
以EF为直径作☉o,过点o作oQ⊥Bc,垂足为Q,连接EQ,FQ,如图.
∵AD⊥Bc,AD=6,
∴EF与Bc之间的距离为3.
∴oQ=3.
∴oQ=oE=3.
∴☉o与Bc相切,切点为Q.
∵EF为☉o的直径,
∴∠EQF=90°
过点E作EG⊥Bc,垂足为G,如图.
∵EG⊥Bc,oQ⊥Bc,
∴EG∥oQ.
∵Eo∥GQ,EG∥oQ,∠EGQ=90°
oE=oQ,
∴四边形oEGQ是正方形.
∴GQ=Eo=3,EG=oQ=3.
∵∠B=60°
∠EGB=90°
EG=3,
∴BG=.
∴BQ=GQ+BG=3+.
∴当∠EQF=90°
时,BQ的长为3+.
在线段cD上存在点m,使∠AmB=60°
理由如下:
以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,作GP⊥AB,垂足为P,作Ak⊥BG,垂足为k.设GP与Ak交于点o,以点o为圆心,oA为半径作☉o,过点o作oH⊥cD,垂足为H,如图.则☉o是△ABG的外接圆,
∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,
.
∵AB=270,
∴AP=135.
∵ED=285,
∴oH=285-135=150.
∵△ABG是等边三角形,Ak⊥BG,
∴∠BAk=∠GAk=30°
∴oA=2oP=90.
∴oH&
oA.
∴☉o与cD相交,设交点为m,连接mA,mB,如图.
∴∠AmB=∠AGB=60°
om=oA=90.
∵oH⊥cD,oH=150,om=90,
∵AE=400,oP=45,
∴DH=400-45.
若点m在点H的左边,则
Dm=DH+Hm=400-45+30.
∵400-45+30&
340,
∴Dm&
cD.
∴点m不在线段cD上,应舍去.
若点m在点H的右边,
则Dm=DH-Hm=400-45-30.
∵400-45-30&
∴点m在线段cD上.
综上所述,在线段cD上存在唯一的点m,使∠AmB=60°
此时Dm的长为米.
3.连接oB,oD,
∵∠DAB=120°
∴所对圆心角的度数为240°
∴∠BoD=120°
∵☉o的半径为3,
连接Ac,
∵AB=BE,
∴点B为AE的中点.
∵F是Ec的中点,
∴BF为△EAc的中位线.
过点B作AE的垂线,与☉o的交点即为所求的点P,
∵BF为△EAc的中位线,
∴BF∥Ac.
∴∠FBE=∠cAE.
∵=,
∴∠cAB=∠DBA.
∵由作法可知BP⊥AE,
∴∠GBP=∠FBP.
∵G为BD的中点,
∴△PBG≌△PBF.
∴PG=PF.
4.由抛物线经过点c可得c=4,
①
假设存在满足条件的点F,如图如示,连接BF,cF,oF.
过点F分别作FH⊥x轴于点H,FG⊥y轴于点G.
若以D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ,
课
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